Posterior a de una larga selección de información pudimos solucionar esta incógnita que pueden tener muchos lectores. Te dejamos la solución y nuestro objetivo es resultarte de mucha ayuda.
Solución:
Incorporar el lenguaje de funciones inversas y demás no es irrazonable, pero en mi opinión hace que las cosas sean más misteriosas de lo necesario. En cambio, prefiero una interpretación más teórica de conjuntos, o quizás “geométrica generalizada”.
La idea básica es que las ecuaciones tallan formas geométricas en el espacio relevante, p. Ej. $ mathbb R ^ 3 $ – a saber, su conjuntos de soluciones. De manera similar, los sistemas de ecuaciones corresponden entonces a intersecciones: un sistema de ecuaciones describe la intersección de las formas descritas por las ecuaciones individuales en él. Las formas algebraicas corresponden a propiedades geométricas y viceversa, y esto a menudo nos permite relacionar resultados geométricos y algebraicos: por ejemplo, considere “tres ecuaciones lineales ‘generales’ en tres incógnitas tienen una solución única” versus “tres planos en $ mathbb R ^ 3 $ en ‘posición general’ tienen un solo punto en común “.
Resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones equivale a dar una descripción “más simple” del conjunto correspondiente (y en particular, esta descripción más simple debería dejar claro si ese conjunto no está vacío). Tenga en cuenta que esto significa que el proceso de solución es “simplemente” reformulación. Un lema que me gusta en este contexto es: la ecuación se convierte en la respuesta. Las diversas herramientas que “se nos permite” usar para resolver un (sistema de) ecuación (es) corresponden a teoremas que relacionan los conjuntos de soluciones dados por ciertos (sistemas de) ecuaciones relacionadas, especialmente aquellos que muestran que dos ecuaciones tienen la misma solución. colocar:
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El hecho de que, por ejemplo, añadir algo a ambos lados de una ecuación no afecte al conjunto de soluciones es una consecuencia de las reglas básicas de igualdad en la lógica de primer orden.
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Otras técnicas son más específicas del contexto: por ejemplo, el hecho de que podemos agregar “$ aa $“a un lado de cualquier ecuación se basa en los axiomas particulares que gobiernan la resta.
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Como ejemplo más complicado, según los axiomas de campo, el conjunto de soluciones de $ s = t $ es el Unión del conjunto solución de la ecuación $ s over x = t over x $ y el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones $ s = t, x = 0 $. Aquí no solo estamos afirmando una igualdad entre dos conjuntos de soluciones, es más complicado que eso (y explica por qué la división “se siente diferente” como herramienta para resolver ecuaciones).
Pero “(los sistemas de) ecuaciones son conjuntos” no es el final de la historia: las ecuaciones tienen vida propia. Por ejemplo, podemos considerar “$ 4x ^ 2-3y = 17 $” sobre $ mathbb R $, o arriba $ mathbb C $, o arriba $ mathbb H $, o sobre el módulo de enteros $ 42 $, o etc. Cambiar la estructura cambia el conjunto asociado a la ecuación, a menudo dejando el ámbito de lo que ingenuamente consideramos “geometría” por completo. El tema de geometría algebraica Sin embargo, implica ampliar nuestra perspectiva sobre lo que constituye la “geometría” para incluir tales cosas, y esta ampliación ha resultado ser extremadamente útil.
En resumen:
Las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones describen formas de asignar conjuntos, que podemos tratar de pensar como formas en cierto sentido, para estructuras. Resolverlos (sobre una estructura dada) equivale a dar una buena descripción del conjunto correspondiente.
Y mirando hacia la lógica (a todo el mundo le encanta la lógica, ¿verdad?: P), al generalizar esta idea sustancialmente a costa de perder en gran medida el sabor geométrico con el que terminamos teoría del modelo – ver, por ejemplo, aquí.
Para comprender qué es un sistema de ecuaciones, es necesario, diría yo, comprender mejor qué es un sistema de ecuaciones. ecuación, en sí mismo, es, y eso requiere que incluso retrocedas un paso más y comprendas la noción de lo que es expresión es, y su evaluación.
Una “expresión” es un conjunto “gramaticalmente correcto” de símbolos matemáticos, que representa y, por lo tanto, especifica una objeto, como un número, conjunto o matriz, y el proceso de determinar a qué objeto se refiere una expresión se llama evaluación de esa expresión. Por ejemplo, la expresión “$ 5 + $ 9“(para la definición habitual de” 5 “,” 9 “y” + “) se refiere y evalúa al número” 14 “. La expresión $ 9 – $ 5, igualmente, se refiere al número “4”. Tenga en cuenta que “$ 14 $” y “$ 4 $“son incluso expresiones de ellos mismos; es solo que sus evaluaciones son triviales.
Un ecuación, entonces, es un ejemplo de un tipo especial de expresión llamado Expresión booleana, también llamado “predicado“. A diferencia de las expresiones anteriores que se evalúan como números, Las expresiones booleanas se evalúan como lógico valor, es decir, “Cierto” o “Falso“en el sistema de lógica más comúnmente empleado en matemáticas. En este marco, el”$ = $“en la ecuación es en realidad, en sí misma, una función, como $ + $, eso también, al igual que $ + $, toma dos argumentos (por lo que es una “función binaria”), pero que devuelve, en lugar de un número, un lógico valor. Por ejemplo, “$ 5 = 5 $“se evalúa como” Verdadero “, pero”$ 5 = 9 $“se evalúa como” Falso “. Semánticamente,”$ a = b $” medio “$ a $ es idéntico a $ b $“, por lo que la función booleana $ = $ da “Verdadero” sólo cuando sus dos argumentos de entrada son lo mismo, de lo contrario da “Falso”.
Entonces, cuando decimos “tal que $ mbox (pequeño 1) = mbox (pequeño 2) $“o similar en inglés, estamos diciendo” tal que la expresión booleana ‘$ mbox (pequeño 1) = mbox (pequeño 2) $‘se evalúa como’ Verdadero ‘”.
Eso es lo que un soltero la ecuación es.
Entonces, ¿qué es un sistema de ecuaciones? Bueno, de nuevo es otra expresión booleana, es decir, cosa con valor lógico, solo que ahora los unimos con “AND”. Es decir,
$$ begin cases mbox (expr 1) = a_1 \ mbox (expr 2) = a_2 \ cdots \ mbox (expr $ n $) = a_n end casos $$
es solo otra floritura de notación para la expresión o predicado booleano
$$[mbox(expr 1) = a_1] cuña [mbox(expr 2) = a_2] cuña cdots cuña [mbox(expr $n$) = a_n]$$
dónde $ cuña $ ahora hay otra función booleana binaria que representa “y” que, como puede o no esperar, es “Verdadero” solo cuando ambas entradas booleanas son también “Verdadero”.
Finalmente, la noción de “resolviendo“una ecuación o un sistema de ecuaciones simplemente significa” búscame los valores que debo introducir en las variables para hacer que la expresión booleana que representa se evalúe como ‘Verdadero’ “.
La otra respuesta aquí menciona conjuntos; de hecho, estas dos cosas están muy estrechamente conectadas, porque los conjuntos y las expresiones booleanas (predicados) se reflejan entre sí de una manera muy simple: podemos representar cualquier expresión booleana por su conjunto de soluciones, es decir, el conjunto de todas las asignaciones de las variables que hacen que se evalúe como “Verdadero”, o mejor, como una expresión booleana que implica establecer membresía$ en $, es decir
$$ (x_1, x_2, cdots, x_n) en S $$
por algún set $ S $ de combinaciones de valores de las variables. Sin embargo, los conjuntos son mucho más general en que lo contrario de esto falla: un conjunto arbitrario no tiene ninguna garantía de ser expresable como una expresión booleana, ya sea una ecuación, un sistema de ecuaciones o de otra manera, que involucre solo funciones simples como $ + $ y predicados como $ = $, entre sus variables. La mayoría de los conjuntos, de hecho, solo se pueden representar escribiendo meticulosamente todos sus miembros, que pueden ser infinitos: incluso muy, muy infinitos.
De hecho, se puede decir todo propósito de sets es hacer que este “inverso” falle: deben darnos acceso y razonar acerca de una noción mucho más amplia y universal de predicado más allá de los que podemos escribir explícitamente. “Un conjunto describe una propiedad de sus miembros”, es una forma de decirlo, y esta es también la razón por la que los conjuntos no admiten miembros repetidos, lo que puede no ser tan obvio por la forma en que normalmente se presentan como “bolsas de cosas”. .
Un sistema de ecuaciones puede entenderse como un conjunto de igualdades sobre una estructura FOL determinada. Es la estructura que te dice qué operaciones están permitidas, lo que te permite formar términos posiblemente con variables libres, y cada igualdad es simplemente una fórmula de la forma “$ t = u $” dónde $ t, u $ son términos sobre la estructura. Debe comprender FOL para comprender completamente lo que significan las ecuaciones.
Por ejemplo, las ecuaciones polinomiales sobre un anillo son simplemente igualdades sobre ese anillo. Cuando resuelve un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales, lo que esencialmente está haciendo es encontrar una tupla de reales que puede ser asignado como valores a las variables libres de esas ecuaciones para hacerlas cierto en la estructura de los reales. De manera más general, la eliminación gaussiana en un sistema lineal de ecuaciones funciona en cualquier campo, no solo en el campo de los reales, porque todas las operaciones que se utilizan en la eliminación gaussiana están respaldadas por dicho campo.
Este punto de vista captura fácilmente la noción más general de “sistema de ecuaciones” que probablemente encontrará en la práctica. Por ejemplo, también puede tener un sistema de ecuaciones diferenciales, donde la estructura subyacente es a menudo una estructura ordenada en 2 $ ((ℂ, F), D, …) $, donde el primer tipo $ ℂ $ son los números complejos, y el segundo tipo $ F $ es el conjunto de funciones diferenciables en algún subconjunto de $ ℂ $, y $ D $ es la operación de diferenciación en $ F $, y el “$ … $“son para todas las operaciones habituales que vienen con $ ℂ $ y $ F $. Por ejemplo, el sistema $ Big frac dx dt = a · y, frac dy dt = b · x Big $ dónde $ a, b∈ℂ $ seria formalmente el sistema $ D (f) = escala (a, g) , D (g) = escala (b, f) $ dónde $ escala: ℂ × F → F $ es la operación que representa la multiplicación escalar de un número complejo en una función en $ F $, y $ f, g $ son variables libres de tipo $ F $.
Por cierto, lo haces no Necesita tantas ecuaciones como variables para encontrar una solución. $ x + y = 0 $ tiene una ecuación pero dos variables, sin embargo, puede encontrar fácilmente una solución … Lo que probablemente quería decir era “solución única”, que se aplica a sistemas lineales de ecuaciones sobre un campo y no en general. Por ejemplo, $ x ^ 2 + y ^ 2 = 0 $ tiene una ecuación pero dos variables y, sin embargo, tiene una solución única sobre los reales.
Además, como ya se habrá dado cuenta, el hecho de que los conjuntos de soluciones para sistemas lineales de ecuaciones sobre un campo formen un hiperplano es bastante especial, y la situación general es mucho más complicada. Solo por ejemplo, $ x + y = 2, xy = 1 $ no tiene solución sobre los enteros.
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