Solución:
Para que una relación $ R $ sea simétrica, cada el par ordenado $ (a, b) $ en $ R $ también tendrá $ (b, a) en R $.
Para que una relación sea asimétrica, cada par ordenado $ (a, b) en R $ no tener $ (b, a) en R $.
Para que una relación sea antisimétrica, si ambos $ (a, b) $ y $ (b, a) $ están en $ R $ entonces $ a = b $.
Entonces queremos $ R $ de manera que para algunos $ a neq b $, $ (a, b) $ y $ (b, a) $ estén ambos en $ R $, esto asegura que $ R $ no sea asimétrico ni antisimétrico; pero al mismo tiempo queremos algo de $ (c, d) en R $ tal que $ (d, c) no en R $, ya que esto asegurará que $ R $ no sea simétrico.
En cualquier caso, necesitamos testigos en $ R $ para demostrar que no es simétrico ni asimétrico. Por tanto, no puede estar vacío.
Dejaré los extenuantes detalles de anotar esos $ R $ para ti.
$ varnothing $ es el ejemplo (único) de una relación que es simétrica, asimétrica y antisimétrica (por lo que es lo opuesto a lo que está buscando).
Por ejemplo, una relación $ R $ no es simétrica si existe un par ordenado $ langle a, b rangle $ con $ langle a, b rangle en R $ y $ langle b, a rangle notin R $.
Evidentemente, esto no es cierto para $ R = varnothing $ (no contiene pares ordenados) por lo que concluimos que $ varnothing $ es simétrico.
Asimismo, se puede demostrar que $ varnothing $ es asimétrico y antisimétrico.
Las implicaciones involucradas son vacuosamente cierto.
En la relación vacía, es imposible para $ xRy $, de modo que siempre que $ xRy $ sea cierto que $ yRx $ – tiene una declaración sobre los elementos del conjunto vacío, y no hay tales elementos para hacer la declaración falso.