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Solución:
Tu pregunta tiene dos partes:
¿Existen otras propiedades topológicas que sean invariantes bajo el difeomorfismo?
La respuesta directa es esta: Los difeomorfismos conservan exactamente las mismas propiedades topológicas que los homeomorfismos; nada más y nada menos.
La razón de esto es esencialmente definitoria: A propiedad topológica es, por definición, una propiedad que se conserva mediante homeomorfismos. Como todo difeomorfismo es un homeomorfismo, los difeomorfismos conservan toda propiedad topológica. Y si los difeomorfismos conservan una propiedad particular de las variedades suaves, pero no los homeomorfismos, entonces no es una propiedad topológica.
La otra mitad de tu pregunta era
¿Existen otras propiedades no topológicas que sean invariantes bajo el difeomorfismo?
Esta es una pregunta más interesante. Pero primero debe establecer una categoría adecuada de espacios para trabajar: los difeomorfismos solo se definen entre colectores suavesque son variedades topológicas con una estructura adicional llamada estructura lisa. Entonces, la pregunta apropiada es si hay propiedades no topológicas de variedades suaves que se conservan mediante difeomorfismos. Los hay, pero son más sutiles. Por ejemplo, una de esas propiedades para las variedades suaves compactas es si unen (suavemente) variedades paralelizables. Esta es una forma en que las esferas exóticas se pueden distinguir entre sí.
no es true que los espacios con grupos fundamentales isomorfos son homeomorfos. Por ejemplo, el círculo y el cilindro infinito. Ambos tienen un grupo fundamental $mathbbZ$, pero uno es compacto y el otro no.
De todos modos, dejando eso de lado, la verdadera respuesta a su pregunta es que los homeomorfismos pueden ser arbitrariamente ondulados, mientras que los difeomorfismos, que necesitan ser diferenciables, solo pueden ser tan ondulados. Lo que esto significa es que las propiedades locales van a ser preservadas por difeomorfismo que no son preservadas por homeomorfismo. Un ejemplo de esto es la dimensión de Hausdorff de un espacio, como un copo de nieve de Koch o un conjunto de Julia. Si toma algún autodifeomorfismo del plano, la dimensión de Hausdorff de la imagen del fractal será la misma que la dimensión de Hausdorff del fractal original. ¡Sin embargo, los homeomorfismos ciertamente no harán esto! ¡Algo como el copo de nieve de Koch será homeomorfo a un círculo!
Una buena manera de encontrar otros ejemplos es recordar que los difeomorfismos solo tienen sentido en espacios que nos permiten hablar de diferenciabilidad, es decir, en cierto sentido son euclidianos. Entonces, si solo pensamos en espacios métricos ordinarios, podemos encontrar un ejemplo fácil: las sucesiones de Cauchy. La mayoría de los espacios métricos no están completos. Los homeomorfismos conservarán la propiedad de convergencia, pero dado que el espacio puede no estar completo, podemos tener puntos límite faltantes. El ejemplo más fácil que se me ocurre es algo así como la secuencia $1/n$ en el punto que se asigna a algo como $(0, 1/n)$ en el espacio hiperbólico, donde las distancias entre los puntos llegan al infinito como $y to 0$. Sin embargo, podemos hacer que el espacio hiperbólico sea localmente euclidiano usando el concepto de variedad diferenciable, pero creo que el punto es claro al pensar en el espacio hiperbólico en el sentido de la geometría sintética.
Sin embargo, puede pasar del difeomorfismo a cosas como la isometría cuando se trata de variedades de Riemann, que también tienen muchas propiedades que conservan, que no son visibles en absoluto en las variedades topológicas. Por ejemplo, curvatura, geodésicas y muchas otras propiedades intrínsecas.
Uno de los teoremas más difíciles sobre las variedades es el teorema de Novikov de 1966 de que las clases de Pontryagin de una variedad suave, que ya se habían entendido bien como invariantes de difeomorfismos durante un par de décadas antes, en realidad también eran invariantes bajo homeomorfismos.