Esta cuestión se puede abordar de variadas formas, pero nosotros te dejamos la solución más completa para nosotros.
Solución:
He leído los primeros capítulos de Spivak, sin embargo, mi preferencia personal es el Cálculo de Apostol. También es un enfoque muy riguroso y un libro muy respetado, sin embargo, comienza con más suavidad que el de Spivak. Con el libro de Spivak, los problemas comienzan siendo extremadamente difíciles y se vuelven más fáciles a medida que avanza el libro (principalmente al acostumbrarse a su estilo, no objetivamente). Con Apostol pude entender y responder todas las preguntas de los primeros capítulos con mucha más facilidad, y luego vi aumentar un poco la dificultad; sin embargo, aumenta progresivamente a lo largo del libro. Muchos de los problemas en la introducción de Apostol son exactamente los mismos que los de Spivak, sin embargo, el orden y el contexto en que se presentan lo llevan al método correcto para probarlos, mientras que los de Spivak son más aislados.
Hay muchas discusiones excelentes sobre libros de cálculo en otros foros, como The Should I Become a Mathematician? Hilo en los foros de física.
Estoy totalmente de acuerdo con la afirmación de mathwonk de que, aunque los libros son difíciles, leer diferentes enfoques y repasarlos varias veces es realmente lo que te da una comprensión más profunda del cálculo. Mathwonk también menciona que la mayoría de los estudiantes encuentran a Apostol muy seco y erudito, mientras que Spivak es más divertido; sin embargo, no he encontrado que este sea el caso. He resuelto todos los problemas del Cálculo de Apostol hasta el capítulo 10 hasta ahora, y ha sido un placer (la mayoría de las veces). Como beneficio adicional, Apostol’s Calculus también cubre álgebra lineal, y el segundo volumen cubre cálculo multivariable. El libro análogo de Spivak, “Calculus on Manifolds”, es conocido como un texto extremadamente difícil y se usa comúnmente como una introducción a la geometría diferencial (de hecho, sus volúmenes completos sobre geometría diferencial mencionan Calculus on Manifolds como un requisito previo).
La elección del libro también debe reflejar sus intereses futuros. Actualmente soy programador de computadoras y estoy buscando dedicarme exclusivamente a las matemáticas. Parece que todavía estás fusionando los dos. Diría que el libro de Apostol también podría servirle un poco mejor en este sentido, ya que está ligeramente inclinado hacia el análisis, mientras que el de Spivak está inclinado hacia la geometría diferencial. Por ejemplo, Apostol introduce la notación “pequeña-o”, prima de la notación “gran-O” que se usa ampliamente en informática. Dicho esto, Spivak ha sido descrito por algunos como un texto profundo de análisis real más que un libro de cálculo, por lo que aún cubriría profundamente todos los fundamentos.
Otro conjunto de libros de cálculo que poseo y que tengo en alta estima son los de Courant. Mi breve vistazo a ellos, así como los comentarios de otros, sugieren que quizás estén más enfocados en las aplicaciones que algunos de los otros libros. El de Apostol todavía está, en mi opinión, muy bien salpicado de aplicaciones; muchos capítulos contienen una sección específica de “aplicaciones de…” que vincula los conceptos teóricos que acaba de aprender con el uso aplicado de esos conceptos.
Mi única exposición al estilo expositivo de Courant proviene de su excelente libro que son las matematicas. Este es un libro que recomiendo encarecidamente leer independientemente del libro de cálculo que elija. No puedo alabar lo suficiente la escritura lúcida de Courant, y espero trabajar a través de sus textos de Cálculo en el futuro.
Creo que encontraría el libro de Apostol suficientemente riguroso, así como extremadamente intuitivo. También soy músico y, junto con mi experiencia en programación de computadoras, parece que quizás pensamos igual. Cualquiera que sea el libro que elija, reconozca antes de comenzar que está corriendo un maratón, no una carrera de velocidad.
Aproximadamente un año después, esto es lo que desearía haber sabido antes de comenzar con Spivak. La prueba no es tan difícil. Sobre todo, deseaba haber sabido más sobre las desigualdades antes de comenzar. En concreto, AM-GM, la desigualdad trivial y la desigualdad de Cauchy. Se acostumbran MUCHO a los problemas.
Puede echar un vistazo a “Introducción al razonamiento matemático” de Peter Eccles. Es un libro de “tuercas y tornillos” que introduce a los estudiantes a los fundamentos de la redacción de pruebas. Aborda todos los temas básicos como lógica básica, tablas de verdad, teoría de números elemental, teoría de conjuntos, etc. Los conjuntos de ejercicios me resultaron muy útiles. Se eligen para que sean progresivamente más difíciles, y ocasionalmente también presenta un tema secundario interesante. Además, tiene numerosos conjuntos de soluciones en la parte posterior, por lo que es un buen libro para el autoaprendizaje.
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