Hola, hemos encontrado la solución a lo que buscas, deslízate y la verás un poco más abajo.
Solución:
Pregunta 1 Lo que tienes es casi suficiente. Supongamos $Resigma leq -epsilon < 0$. Test $exp (-sigma |x|^2)$ "against" $phi(x) = exp( (sigma+epsilon/2)|x|^2)$ in the following way: you can construct a sequence of annular cut-off functions $chi_k$ such that $chi_k phi to 0$ in $mathcalS$ (using the exponential decay of $phi$) and $langle g_sigma, chi_kphirangle > c > 0$ para todos los $k$.
Pregunta 2 Tienes el teorema de la estructura de las distribuciones temperadas. (Véase el Teorema 8.3.1 en Friedlander y Joshi).
Teorema Toda distribución temperada es una derivada (distribucional) de orden finito de alguna función continua de crecimiento polinomial.
Si te cruzas con $L^1_loc$, esto solo garantiza que la derivada distributiva es en realidad la derivada débil. De esto puede concluir que una versión apropiada de lo que declaró es true.
Pensamiento $L^1_loccapmathcalS’$ como un subconjunto de $mathcalD’$, No lo es true que cada elemento de $L^1_loccapmathcalS’$ es una función polinomialmente creciente.
por ejemplo, en $matemáticasR$definir
$$f:mathbbRtomathbbR, tmapstocos(e^t) e^t.$$
Después $fin L^1_loc(mathbbR)$por lo que representa por apareamiento integral un elemento de $mathcalD'(mathbbR)$.
Además, defina:
$$g:mathbbRtomathbbR, tmapstosin(e^t).$$
Después $gin L^infty(mathbbR)$por lo que representa por apareamiento integral un elemento de $mathcalS'(mathbbR)$.
Además, denotando la derivada distribucional con el símbolo $D$tenemos que:
$$forallvarphiinmathcalD(mathbbR), f(varphi)= int_mathbbRf(t)varphi(t)operatornamedt = int_mathbbR cos(e^t) e^tvarphi(t)operatornamedt \ = int_mathbbR left(fracoperatornamed nombre del operadordtsin(e^t)right)varphi(t)nombre del operadordt =- int_mathbbR sin(e^t)varphi'(t )nombre del operadordt = -g(varphi’)=Dg(varphi).$$
Entonces, siendo $mathcalS'(mathbbR)$ cerrado con respecto a la derivada distribucional, obtenemos que $f=DginmathcalS'(mathbbR)$.
Sin embargo $f$ no es una función de crecimiento polinomial, por lo que tenemos un ejemplo de $fin L^1_loc(mathbbR)capmathcalS'(mathbbR)$ que no es de crecimiento polinomial.
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