Solución:
El problema esta aqui:
Si cualquier $ x en X $ tuviera para cada uno de sus vecindarios $ U $ infinitos $ n $ para los cuales $ x_n en U $, entonces podríamos definir una subsecuencia convergente de $ (x_n) $, contradiciendo nuestra suposición. (Es de suponer que esto se hace eligiendo para cada vecindario un término indexado suficientemente grande en ese vecindario).
En los espacios topológicos generales, esto solo implica que podemos construir una red convergente, no una secuencia convergente. (Un punto $ x $ es un punto de acumulación de un subconjunto $ S $ $ Leftrightarrow $ existe una red de puntos de $ S setminus {x } $ que convergen en $ x $).
Si $ X $ es contable primero en $ x $ (el punto $ x $ tiene una base contable), entonces se puede construir una secuencia. (Esto es más o menos estándar. Primero construimos una base decreciente $ U_n $ en $ x $ y luego elegimos un punto de cada $ U_n $). En particular, esto funciona para espacios métricos. Tenga en cuenta que Rudin solo funciona con un subconjunto compacto de espacios métricos en ese capítulo.
La compacidad es equivalente a la compacidad secuencial para espacios métricos; en general, ninguno implica al otro. Creo que el punto en el que su demostración requiere que estemos trabajando en un espacio métrico, está en
Si cualquier $ x en X $ tuviera para cada uno de sus vecindarios $ U $ infinitos $ n $ para los cuales $ x_n en U $, entonces podríamos definir una subsecuencia convergente de $ (x_n) $
En un espacio métrico, podemos obtener esta subsecuencia tomando bolas de radio $ frac {1} {n} $; en general no podemos.
En los espacios generales tenemos el problema, como han señalado otros, de que la topología no necesita estar “determinada por secuencias”, como tenemos en los espacios métricos, o primeros espacios contables. Una clase de espacios donde tenemos que las secuencias son suficientes es la clase de espacios secuenciales, que resultan ser la clase de espacios cocientes de espacios métricos. Aquí tenemos que el cierre secuencial siempre es igual al cierre, y para los espacios secuenciales de Hausdorff podemos probar (por ejemplo, ver esta publicación de blog) con bastante facilidad que la compacidad secuencial es equivalente a la compacidad contable. Esto último siempre está implícito en la compacidad, de modo que para los espacios secuenciales tenemos compacto implica secuencialmente compacto (pero no al revés, como $ omega_1 $ en el orden que muestra la topología).
Otro ejemplo clásico de un espacio compacto de Hausdorff pero no secuencialmente compacto es la compactación de Čech-Stone de los números enteros. Dichos espacios fallan en la compacidad secuencial porque son demasiado grandes, ya que existe un invariante cardinal $ omega_1 le t le c $ tal que cada espacio compacto de Hausdorff $ X $ de tamaño $ lt 2 ^ t $ es siempre secuencialmente compacto.