Posterior a observar en diversos repositorios y foros de internet finalmente dimos con la solución que te compartiremos más adelante.
Solución:
Responderé con el ejemplo más importante:
Si $T:V to W$ es una transformación lineal entre espacios vectoriales, entonces
$0 to textEspacio nulo(T) to V to textRango(T) to 0$
es una secuencia exacta corta, donde el mapa Nullspace$(T) to V$ es la inclusión, y el mapa $V to textRange(T)$ es solo $v mapsto Tv$.
Demuestra que esto es exacto.
Una vez que lo haga, tendrá toda una familia de secuencias exactas cortas que no son triviales. Además, todas las sucesiones exactas cortas son “isomorfas” a esta por unos $T$.
No es realmente parte de la respuesta, pero un hecho importante acerca de las secuencias exactas (de espacios vectoriales de dimensión finita, y solo un número finito de ellos) es que si toma la suma alterna de dimensiones (sume todas las dimensiones, pero da términos impares un signo menos), obtienes cero. En el ejemplo anterior esto es equivalente a un hecho familiar del álgebra lineal. ¿Cuál es ese hecho?
Tienes razón en que los mapas de composición $varphi_n circ cdots circ varphi_0$ siempre serán el mapa cero. Sin embargo, esto no significa que los mapas individuales sean el mapa cero. De hecho, es fácil encontrar un par de mapas lineales distintos de cero cuya composición sea cero. Si sigue un solo elemento desde el principio, solo llegará a cero, pero si comienza en algún lugar en el medio de la secuencia, puede llegar a otros elementos.
Lo que dice la definición de secuencia exacta corta es que, por ejemplo, el kernel de $varphi_1$ debe ser igual a la imagen de $varphi_0$. Sabes cuál es la imagen de $varphi_0$, entonces sabes cuál es el kernel de $varphi_1$: 0. Eso no te dice que el imagen de $varphi_1$ es cero; la imagen de $varphi_1$ es isomorfa a $V_1/ ker varphi_1$. Espero que esto ayude.
No. La imagen de $varphi_0$, que es $ $, es el kernel de $varphi_1$. Por lo tanto, $varphi_1$ es inyectivo.
De manera similar, el núcleo de $varphi_3$, que es $V_3$, es la imagen de $varphi_2$, lo que significa que $varphi_2$ es sobreyectiva.
Podemos resumir todo esto, diciendo que tenemos una secuencia exacta corta si y solo si $varphi_1$ es uno a uno, $varphi_2$ es sobre y $ker varphi_2=operatornameImvarphi_1$ .
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