Luego de mucho trabajar hemos hallado el resultado de esta pregunta que algunos lectores de nuestro sitio presentan. Si quieres aportar algo más no dudes en dejar tu información.
Solución:
Sin faltarle el respeto, permítanme decir que me parece increíble que alguien se preocupe naturalmente por la geometría no conmutativa pero necesite ser convencido sobre la geometría real (esto solo sirve para resaltar que hay una amplia variedad de formas de pensar en matemáticas). Necesitaría convencer al revés (por ejemplo, ¿cómo son relevantes las álgebras C * en la teoría de la foliación desde el punto de vista geométrico?).
Desde el punto de vista de alguien interesado en la geometría, las foliaciones aparecen naturalmente de muchas maneras.
La forma más básica es cuando considera los conjuntos de niveles de una función. Si la función es una inmersión, obtiene una foliación no singular, pero esto es raro. Sin embargo, cada variedad admite una función Morse y la teoría de las funciones Morse (que puede usarse, por ejemplo, para clasificar superficies y para probar el caso de alta dimensión de la conjetura de Poincaré generalizada) puede verse como una función especial (o tal vez como la más importante). ) caso de la teoría de las foliaciones singulares (donde las singularidades son bastante simples).
Otro tipo natural de foliación es la partición de un colector en las órbitas del flujo determinadas por un campo vectorial. Nuevamente, el caso más simple, en el que el campo vectorial no tiene ceros, es raro pero produce una foliación no singular (con hojas unidimensionales). Sin embargo, ya en este caso se puede ver que las hojas de una foliación pueden ser recurrentes (es decir, acumularse sobre sí mismas) de formas no triviales (el ejemplo típico es la partición del toro plano $ mathbb R ^ 2 / mathbb Z ^ 2 $ en líneas de una pendiente irracional dada).
Un hecho notable que generaliza el caso anterior (el resultado está en los artículos de Sussmann y Stefan de principios de los 70) es el siguiente: Considere los campos vectoriales $ n $ en una variedad. Para cada punto $ x $, considere el conjunto de puntos que puede alcanzar usando composiciones finitas arbitrarias de los flujos de estos campos vectoriales. La partición de la variedad en estas “clases de accesibilidad” es una foliación singular (en particular, cada clase de accesibilidad es una subvariedad).
Por lo tanto, las foliaciones aparecen naturalmente en varios tipos de “problemas de control” en los que uno tiene varias direcciones válidas de movimiento y desea comprender qué estados se pueden lograr a partir de un estado dado. Este punto de vista también da una buena idea del teorema de Hörmander sobre por qué ciertos operadores diferenciales tienen núcleos suaves (hay un buen artículo de Hairer que explica la demostración de este teorema de Malliavin). Esencialmente, la condición del corchete de Hormander significa que el movimiento browniano puede ir a cualquier lugar que desee (es decir, una cierta foliación asociada al operador es trivial).
Otra forma de obtener motivación es mirar la historia (recuerdo haber leído una bonita encuesta que creo que fue escrita por Haefliger). En mi opinión (poco confiable), los primeros resultados geométricos (así que me estoy saltando el teorema de Frobenius) en la teoría de la foliación son los teoremas de Poincaré-Benedixon y Poincaré-Hopf, los cuales pueden usarse para mostrar que cada foliación unidimensional de los dos -La esfera dimensional tiene singularidades.
Hopf luego preguntó en la década de 1930 si existe una foliación de la esfera tridimensional utilizando solo superficies. La primera observación, debida a Reeb y Ehresman, es que si una de las superficies es una esfera, no se puede completar la foliación sin singularidades. También construyeron la famosa foliación Reeb y respondieron afirmativamente a la pregunta.
Desde entonces ha habido toda una línea de investigación dedicada a la cuestión de qué variedades admiten foliaciones no singulares. En este sentido, el Teorema principal se lo debe a Thurston quien (en palabras de un experto en la teoría) dio la vuelta y “folló todo lo que se podía follar”.
Pero existen otras líneas de investigación. Por ejemplo, sé que hay un cierto subconjunto de geometría algebraica dedicado a tratar de comprender las foliaciones del espacio proyectivo complejo que están determinadas por los conjuntos de niveles de funciones racionales de cierto grado.
Además, siempre que se tiene una acción del grupo fundamental de una variedad, hay una foliación de “suspensión” natural adherida (las suspensiones se consideran el “modelo local” para una foliación general y, por lo tanto, son muy importantes en la teoría). Este punto de vista en ocasiones ha dado resultados en el área de investigación actual conocida como teoría de Teichmüller superior (donde básicamente se estudian acciones lineales del grupo fundamental de una superficie).
Y, por supuesto, cuando uno tiene un difeomorfismo o flujo anosov, o hiperbólico (por ejemplo, el flujo geodésico de una superficie hiperbólica), están las foliaciones estables e inestables que juegan un papel, por ejemplo, en el famoso Hopf (no el mismo Hopf como antes) argumento para establecer la ergodicidad.
Ah, y ni siquiera he mencionado el lugar especial que ocupan las foliaciones en la teoría de las variedades tridimensionales. Aquí hay muchos resultados de los que no puedo decir mucho (pero he escuchado que el libro de Calegari es bastante bueno). Quizás uno básico es el teorema de Novikov, que básicamente demuestra que la existencia de componentes Reeb es forzada para foliaciones en muchas variedades 3.
Y (no pude resistirme a agregar un último ejemplo), también hay foliaciones de líneas de Brouwer, que recientemente han sido utilizadas (por LeCalvez y otros) para probar resultados interesantes sobre la dinámica de los homeomorfismos superficiales.
TLDR: Las foliaciones ocurren naturalmente en muchos contextos en geometría y sistemas dinámicos. Puede que no exista una “Teoría de las foliaciones” muy unificada, pero varios tipos especiales se han estudiado en profundidad por diferentes razones y han aportado conocimientos o han participado en la demostración de resultados importantes como la conjetura de Poincaré y el teorema del corchete de Hörmander. Por esta razón, los matemáticos se han dado cuenta y han señalado las foliaciones como un objeto básico en geometría (incluso se han realizado esfuerzos importantes para producir un par de tratados agradables que intentan dar un gran recorrido, por ejemplo, los libros de Candel y Conlon).
Probablemente hay muchas razones por las que las personas se preocupan por las foliaciones, pero para alguien que proviene de álgebras de operadores, una de las principales razones es la conexión con la teoría del álgebra de von Neumann. En resumen, cada foliación de una variedad suave tiene un álgebra de von Neumann asociada y las propiedades interesantes del álgebra de von Neumann se reflejan en las propiedades geométricas de la foliación. El álgebra de von Neumann es un factor si y solo si la foliación es ergódica, por ejemplo. Puede obtener ejemplos de factores de todo tipo mediante esta construcción y el aspecto geométrico de las foliaciones es especialmente útil para comprender el caso de tipo III. El grupo de automorfismo modular tiene una interpretación geométrica sencilla, y así sucesivamente. Una buena referencia es “Álgebras de operador y el teorema del índice en variedades foliadas” de H. Moriyoshi.
Aquí hay otra razón por la que las personas se preocupan por las foliaciones: si a usted le importan los sistemas dinámicos, debería preocuparse por las foliaciones.
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Por ejemplo, si tiene un campo vectorial singular en ninguna parte en una variedad cerrada, define una foliación unidimensional, las hojas son las órbitas del flujo asociado al campo vectorial. Estudiar foliaciones unidimensionales es (casi cuestiones de orientación de módulo) lo mismo que estudiar campos vectoriales no singulares. Lo único es que cuando piensas en foliaciones te olvidas de la parametrización de las órbitas.
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Si tiene una acción localmente libre de un grupo de Lie conectado en un colector cerrado, nuevamente tiene una foliación asociada por las órbitas. Aquí, localmente libre significa que el estabilizador de cualquier punto de la variedad es un subgrupo discreto del grupo de Lie. La dimensión de las hojas será la dimensión del grupo de Lie, esto generaliza el ejemplo 1. Ya están sucediendo cosas interesantes para las acciones del grupo de Lie $ R ^ 2 $ (es decir, pares de campos vectoriales de conmutación).
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Incluso si solo está interesado en flujos o difeomorfismos, a veces hay foliaciones naturales asociadas a ellos. Por ejemplo, las foliaciones estables / inestables de un flujo o difeomorfismo de Anosov.
En cuanto a la imagen mental de lo que es una foliación, probablemente haya muchas imágenes en línea. Debería pensar en una partición de su variedad que sea localmente agradable (como un “milhojas” o como un producto $ R ^ k times R ^ nk $) pero globalmente complicada (las hojas pueden ser densas o el cierre podría ser transversalmente un conjunto de Cantor, etc.).
Acuérdate de que tienes la capacidad de parafrasear tu experiencia si te fue de ayuda.