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Solución:
No hay, en un sentido bastante fuerte, ninguna base razonable de este espacio. Amplíe un vecindario en cualquier punto y observe que una combinación lineal finita de funciones que tienen varios tipos de buen comportamiento en ese vecindario también tienen ese buen comportamiento en ese vecindario (diferenciable, $C^k$, suave, etc.). Entonces cualquier base contiene necesariamente, por cada barrio, una función que no se comporta bien en esa vecindad. De manera más general, pero hablando en términos generales, una base debe tener funciones que sean al menos tan patológicas como las funciones continuas más patológicas.
Las bases (Hamel / algebraicas) de la mayoría de los espacios vectoriales de dimensión infinita simplemente no son útiles. En las aplicaciones, las diversas topologías que podría poner en tal cosa importan mucho y la noción de una base de Schauder se vuelve más útil.
Utilizando el comentario de Nate Eldredge tenemos que $C(mathbb R)$ es un espacio vectorial polaco.
Considere un modelo de Solovay, es decir, ZF+DC+”Todos los conjuntos tienen la propiedad de Baire”. En tal modelo todos los mapas lineales en espacios vectoriales separables son continuos, esto es una consecuencia de [1, Th. 9.10].
Es importante remarcar que una función continua (de $mathbb R$ a $mathbb R$) de un conjunto compacto es uniformemente continua es un resultado que no requiere ningún forma de elección, y creo que Dependent Choice (DC) asegura que las convergencias uniformes en conjuntos compactos se comporten bien.
Supongamos que hubiera una base Hamel, $B$, tiene que ser de cardinalidad $frak c$. Entonces tiene $2^frak c$ muchas permutaciones, que inducen $2^frak c$ diferente automorfismos lineales.
Sin embargo, todo automorfismo lineal es automáticamente continuo, por lo que está completamente determinado por el conjunto denso contable y, por lo tanto, solo puede haber $frak c$ muchos automorfismos lineales, lo cual es una contradicción con el teorema de Cantor ya que $mathfrak cneq 2^ frak c$.
Este es esencialmente el mismo argumento que usé en esta respuesta.
Bibliografía:
- Kechris, A. Teoría de conjuntos descriptiva clásica.Springer-Verlag1994.