Solución:
La diferencia, por supuesto, es el orden. Una base ordenada $ B $ de un espacio vectorial $ V $ es una base de $ V $ donde se proporciona información adicional: a saber, qué elemento de $ B $ viene “primero”, cuál viene “segundo”, etc. Si $ V $ es de dimensión finita, un enfoque sería hacer $ B $ una tupla de $ n $ ordenada, o más generalmente, podríamos proporcionar un pedido total en $ B $.
Sin embargo, la diferencia puede oscurecerse por el abuso común de la notación y el abuso de la terminología con respecto a las bases frente a las bases ordenadas. Por ejemplo, sería bastante común decir que $$ {e_1, ldots, e_n } $$ es una base ordenada, aunque es solo un conjunto y no una tupla $ n $ ordenada, porque los índices decirte lo que el destinado a ordenar es.
Consideremos $ mathbb {R} ^ 3 $. Un ejemplo de una base simple y antigua sería un conjunto $$ left { begin {array} {ccc} & a & \ & & alpha \ mathbf {a} & & end {array } right } $$ donde $ a $, $ alpha $ y $ mathbf {a} $ son una base de $ mathbb {R} ^ 3 $ (que he escrito y etiquetado intencionalmente de tal manera que no habría orden implícita). Un ejemplo de una base ordenada podría ser $$ (a, b, c) $$ que es una tupla de $ 3 $ ordenada donde $ a $ viene primero, $ b $ viene en segundo lugar y $ c $ viene tercero (reforzado por el hecho que está en orden alfabético), o de manera equivalente, podría haber dicho que $$ {a, b, c } $$ es una base ordenada donde el orden se especifica mediante $ a
Para referencia futura, me gustaría dar más información.
Como se indicó anteriormente, una forma de definir una base ordenada sería una base $ B $ junto con un pedido total en $ B $.
Supongamos que $ V $ es un espacio vectorial sobre un campo $ K $ (que podría ser $ mathbb {R} $ o $ mathbb {C} $, por ejemplo). Si $ V = K ^ n $, automáticamente tenemos una base ordenada de $ V $ (en el sentido anterior), es decir, la base estándar: $$ vec {e_1} = (1,0, dots, 0) quad vec {e_2} = (0,1, dots, 0) quad dots quad vec {e_n} = (0, dots, 0,1) \ B = { vec {e_1} , dots, vec {e_n} }, $$ con el orden implícito: $ vec {e_i} leq vec {e_j} iff i leq j $.
Nuestra siguiente observación será que si tiene dos espacios vectoriales $ V_1, V_2 $ sobre $ K $, una base $ B_1 $ de $ V_1 $ y un isomorfismo $ Phi: V_1 a V_2 $, entonces $ B_2 = Phi (V_1) subseteq V_2 $ será una base para $ V_2 $. Además, si se ordena $ B_1 $, podemos definir una orden en $ B_2 $ tirando de los vectores base de $ B_2 $ hacia atrás a través de $ Phi ^ {- 1} $.
Por lo tanto, si nuestro espacio vectorial $ V $ es de dimensión finita ($ dim (V) = n $), dada una base ordenada $ B $ podemos construir un isomorfismo $ Phi: K ^ n a V $ enviando el base estándar a $ B $, que es la conservación de pedidos sobre la base estándar. Por el contrario, cualquier isomorfismo $ Phi: K ^ n a V $ induce una base ordenada haciendo que $ B = Phi ( { vec {e_1}, dots, vec {e_n} }) $ y usando el orden de retirada. En este sentido, una base ordenada de $ V $ equivale a un isomorfismo $ Phi: K ^ n a V $.
Otra forma de ver esto se puede obtener observando que dos isomorfismos cualesquiera $ Phi_1, Phi_2: W_1 a W_2 $ de espacios vectoriales $ W_1 $ y $ W_2 $ están relacionados por un isomorfismo $ Psi = Phi_2 circ Phi_1 ^ {- 1}: W_2 a W_2 $, de modo que $ Phi_2 = Psi circ Phi_1 $. Entonces, si ha definido una base ordenada en $ V $ eligiendo un isomorfismo $ Phi: K ^ n a V $, se puede obtener cualquier otra base ordenada especificando un isomorfismo $ Psi en GL (V) $ (el grupo de automorfismos lineales / grupo lineal general en $ V $). Por tanto, una base ordenada puede abstraerse para significar cualquier automorfismo particular de $ V $ junto con alguna base “estándar” de $ V $.
El enfoque de isomorfismo es particularmente útil en geometría diferencial, para definir el conjunto de marcos en una variedad. Esto hace posible definir un marco en cada punto y pegarlos juntos como un haz de fibras lisas sin preocuparse por la diferenciabilidad de algún orden total.