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Solución:
Partiré de la sugerencia del interlocutor de que tal vez sea mejor decir qué es un sistema NO integrable.
Se ha demostrado que el problema newtoniano de tres cuerpos planos, para la mayoría de las masas, no es integrable.
Antes de Poincaré, parecía haber una especie de esperanza general en el aire de que todos los sistemas autónomos de Hamilton eran integrables. Uno de los grandes reclamos de fama de Poincaré, demostrado en sus Les Methodes Nouvelles de Mecanique Celeste, fue que el problema plano de los tres cuerpos no es completamente integrable. Son los sistemas dinámicos equivalentes al trabajo de Galois sobre quínticas. Específicamente, Poincaré demostró que además de la energía, el momento angular y el momento lineal, no hay otras funciones ANALÍTICAS en el espacio de fases que Poisson conmute con la energía. (Para ser más cuidadosos: cualquier ‘otra’ función de este tipo es una función de la energía, el momento angular y el momento lineal. Y su demostración, o sus extensiones, solo se cumple en la región del parámetro donde una de las masas domina a las otras dos. Todavía es posible que para masas muy especiales y momentos / energías angulares el sistema sea integrable. Nadie cree esto.) Lo mejor que puedo decir, la existencia de integrales suaves adicionales (con conjuntos de niveles similares a fractales) todavía está abierta, al menos en mayoria de los casos.
La prueba imposible de Poincaré se basa en su descubrimiento de lo que hoy en día se llama un “enredo homoclínico” incrustado dentro del problema restringido de los tres cuerpos, visto en un marco giratorio. En esta maraña, la variedad inestable y estable de algún punto (una órbita en el marco inercial no giratorio) se cruzan infinitamente a menudo, teniendo estos puntos de cruce el punto en su cierre.
En términos generales, una integral adicional debería ser constante a lo largo de este complicado conjunto. Ahora use el hecho de que si los ceros de una función analítica tienen un punto de acumulación, entonces esa función es cero para concluir que la función es cero.
Antes de Poincaré (y supongo que desde entonces) los matemáticos y en particular los astrónomos gastaban mucha energía buscando secuencias de cambios de variables que hicieran el sistema “cada vez más integrable”. Poincaré se dio cuenta de que las series que definían sus transformaciones eran divergentes, de ahí su interés por las series divergentes. Este problema de divergencia es el “problema de los denominadores pequeños” y solucionarlo poniendo condiciones teóricas de números en las frecuencias que aparecen es el núcleo del teorema KAM.
Esta es, por supuesto, una muy buena pregunta. Debo comenzar con el descargo de responsabilidad de que a pesar de haber trabajado en algunos aspectos de la integrabilidad, no me considero un experto. Sin embargo, he pensado en esta pregunta de forma intermitente y (en su mayoría).
Me limitaré a la integrabilidad en la mecánica clásica (es decir, hamiltoniana), ya que la integrabilidad cuántica tiene, en mi opinión, un sabor muy diferente.
La definición estándar, que puede encontrar en el artículo de wikipedia al que ha vinculado, es la de Liouville. Dada una variedad de Poisson $ P $ que parametriza los estados de un sistema mecánico, una hamiltoniano la función $ H en C ^ infty (P) $ define un campo vectorial $ lbrace H, – rbrace $, cuyos flujos son las trayectorias clásicas del sistema. Una función $ f en C ^ infty (P) $ que Poisson conmuta con $ H $ es constante a lo largo de las trayectorias clásicas y, por lo tanto, se llama cantidad conservada. La identidad de Jacobi para el corchete de Poisson dice que si $ f, g en C ^ infty (P) $ son cantidades conservadas, también lo es su corchete de Poisson $ lbrace f, g rbrace $. Se dice que dos cantidades conservadas están en involución si se conmutan por Poisson. Se dice que el sistema es clásicamente integrable si admite “tantas como sea posible” cantidades conservadas independientes $ f_1, f_2, dots $ en involución. Independencia significa que el conjunto de puntos de $ P $ donde sus derivadas $ df_1, df_2, dots $ son linealmente independientes es denso.
Estoy siendo deliberadamente vago arriba. Si $ P $ es de dimensión finita y simpléctica, por lo tanto de dimensión par $ 2n $, entonces “tantos como sea posible” significa $ n $. (Se puede incluir $ H $ entre las cantidades conservadas). Sin embargo, hay ejemplos interesantes de dimensión infinita (por ejemplo, la jerarquía KdV y sus primos) donde $ P $ es solo Poisson y “tantos como sea posible” significa en la práctica un número infinito de cantidades conservadas. Además, no es estrictamente necesario que las cantidades conservadas estén en involución, pero se puede permitir que la subálgebra de Lie de $ C ^ infty (P) $ que abarcan sea resoluble pero no beliana.
Ahora bien, la razón por la que la integrabilidad parece ser una noción tan escurridiza es que se puede argumentar que “localmente” cualquier sistema hamiltoniano razonable es integrable en este sentido. El sello distintivo de la integrabilidad, según los profesionales de todos modos, parece depender de las coordenadas. Me refiero a esto en el sentido de que $ P $ no se suele dar de forma abstracta como una variedad, sino que viene con una tabla de coordenadas determinada. La integrabilidad requiere entonces que las cantidades conservadas se escriban como expresiones locales (por ejemplo, polinomios diferenciales, …) de las coordenadas dadas.
La respuesta simple es que un sistema hamiltoniano dimensional de $ 2n $ de ODE es integrable si tiene $ n $ (funcionalmente) constantes independientes del movimiento que están “en involución”. (Funcionalmente independiente significa que ninguno de ellos puede escribirse en función de los demás. Y “en involución” significa que todos sus corchetes de Poisson desaparecen, una condición algo técnica que no definiré con cuidado (* pero ver más abajo), sino referirlo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket). El ejemplo más simple y motivador es el oscilador armónico $ n $ -dimensional. Lo que hace que los sistemas integrables sean notables e interesantes es que se pueden encontrar para ellos las llamadas “variables de ángulo de acción”, en términos de las cuales la evolución temporal de cualquier órbita se vuelve transparente.
Para una discusión más detallada y moderna, puede encontrar útil un artículo expositivo que escribí en el Boletín de The AMS. Se llama “Sobre las simetrías de los solitones”, y puedes descargarlo como pdf aquí:
http://www.ams.org/journals/bull/1997-34-04/S0273-0979-97-00732-5/
Se trata principalmente de la teoría dimensional infinita de sistemas integrables, como SGE (la ecuación de Sine-Gordon), KdV (Korteweg deVries) y NLS (ecuación de Schrodinger no lineal), pero comienza con una exposición de la clásica dimensión finita. teoría.
- Aquí hay un poco sobre qué es el corchete de Poisson de dos funciones que explica su significado y por qué se dice que dos funciones con corchete de Poisson desaparecido “conmutan Poisson”. Recuerde que en la mecánica hamiltoniana hay una forma natural no degenerada de dos $ omega = sum_i dp_i wedge dq_i $. Esto define (por contracción con $ omega $) una correspondencia biyectiva entre campos vectoriales y formas 1 diferenciales. Bien, entonces, dadas dos funciones $ f $ y $ g $, sean $ F $ y $ G $ los campos vectoriales correspondientes a las formas 1 $ df $ y $ dg $. Entonces el corchete de Poisson de $ f $ y $ g $ es la función $ h $ tal que $ dh $ corresponde al campo vectorial $[F,G]$, el corchete de conmutador habitual de los campos vectoriales $ F $ y $ G $. Así, dos funciones de Poisson conmutan si los campos vectoriales correspondientes a sus diferenciales conmutan, es decir, si los flujos definidos por estos campos vectoriales conmutan. Entonces, si un campo vectorial hamiltoniano (en una variedad simpléctica compacta de $ 2n $ -dimensional $ M $) es integrable, entonces pertenece a una familia de $ n $ -dimensionales de campos vectoriales de conmutación que generan una acción de toro en $ M $. Y aquí es de donde provienen las variables de ángulo de acción: las superficies de nivel de las variables de acción son las órbitas del toro y las variables de ángulo son las coordenadas de los ángulos para los círculos $ n $ cuyo producto da una órbita del toro.
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