Este grupo especializado luego de varios días de investigación y de juntar de datos, dimos con la respuesta, deseamos que te resulte útil para tu plan.
Solución:
Hay muchos tipos de “estructuras” en matemáticas.
Considere el siguiente ejemplo: En un determinado conjunto $X$ se define una suma. Esto significa que algunas ternas $(x,y,z)$ de elementos de $X$ son “especiales” en la medida en que $x+y=z$ es true. Escribe $(x,y,z)intt plus$ en este caso. Para ser útil, esta relación $tt plussubset X^3$ debe satisfacer ciertos requisitos adicionales, que no mencionaré aquí.
Supongamos ahora que tenemos un segundo conjunto $Y$ con una adición $tt más’$ (que también satisface los requisitos adicionales), y que un determinado mapa $$phi:quad Xto Y, qquad xmapsto y:=phi(x)$$ se define mediante una fórmula, algún texto o construcción geométrica, etc. Tal mapa se denomina homomorfismo si $$(x_1,x_2,x_3)intt plusquadLongrightarrowquadbigl(phi(x_1),phi(x_2),phi(x_3)bigr)in tt plus’tag1$$ para todos los triples $(x_1,x_2,x_3)$.
En $(1)$, la idea de “preservar la estructura” funciona solo en una dirección: los $X$-triples especiales se asignan a $Y$-triples especiales. Ahora podría ser que el $phi$ dado sea de hecho una biyección, y que en lugar de $(1)$ tengamos $$(x_1,x_2,x_3)intt plusquadLongleftrightarrowquad bigl(phi(x_1),phi(x_2),phi(x_3)bigr)intt plus’$$ para todos los triples $(x_1,x_2,x_3)$. En este caso, $phi$ se llama isomorfismo entre las estructuras $X$ y $Y$. Los elementos $xin X$ y los elementos $Yin Y$ podrían ser de “tipos matemáticos” totalmente diferentes, pero en lo que respecta a la suma, $X$ y $Y$ son “clones estructurales” entre sí.
Es, en resumen, altamente dependiente del contexto. Los isomorfismos constituyen un cambio de nombre de los puntos en un espacio y no cambian ninguna de las propiedades que nos interesan para ese espacio en particular.
Un isomorfismo de espacios vectoriales conserva las propiedades que nos interesan en un espacio vectorial. Si es un conjunto linealmente independiente en el dominio, formará un conjunto linealmente independiente cuando se asigne a la imagen. Si eres un subespacio aquí, eres un subespacio allá. En lo que respecta al álgebra lineal, los dos conjuntos solo tienen elementos con nombres diferentes.
Un isomorfismo de espacios topológicos, aunque nunca llamado así, es un homeomorfismo. Si soy un conjunto abierto en el dominio, soy un conjunto abierto en la imagen. Si estoy conectado en el dominio, estoy conectado, etc. En cuanto a la topología, solo cambiamos el nombre de un montón de puntos.
Lo mismo ocurre con las isometrías de espacios métricos, difeomorfismos en variedades, isomorfismos de grupo, isomorfismos de anillo, etc.
En un nivel más abstracto, ser igual “hasta los isomorfismos” dice que tienes dos instancias del mismo tipo. Considere por ejemplo que es un cuadrado? La palabra cuadrado puede referirse a dos cosas: cuadrado como un forma (tipo de forma) — como “tenemos cuadrado, rectángulo, bola, línea, etc”. Pero también puede referirse a un cuadrado particular que dibujas en un plano. En el segundo sentido, hay infinitos cuadrados, aunque cada uno de ellos representa la forma “cuadrado”.
Es razonable considerar lo que todos tienen en común. Un enfoque es decir que puede mapear un cuadrado en cualquier otro con una biyección de “preservación de la estructura”. En este caso, la preservación de la “estructura” probablemente significará que se necesitan “segmentos de línea igualmente largos” a “segmentos de línea igualmente largos” y ángulos rectos a ángulos rectos.
En términos más generales, los objetos matemáticos suelen describirse como un establecer y una estructura — la estructura puede ser varios tipos de adiciones, multiplicaciones, composiciones, capacidad para tomar límites o derivados, suavidad o lo que sea. Un homomorfismo es entonces un mapa que preserva esta estructura, sea lo que sea — toma una suma a una suma, una diferencia a una diferencia, un campo vectorial uniforme a un campo vectorial uniforme, un cuadrado a un cuadrado. Las definiciones individuales difieren de un caso a otro, pero la idea es siempre la misma.
El isomorfismo es quizás más intuitivo que el homomorfismo. El homomorfismo significa que conserva la estructura en el sentido anterior, pero se puede perder parte de la información (por ejemplo, puede asignar todo a cero).
Si te ha sido de provecho este post, sería de mucha ayuda si lo compartieras con otros entusiastas de la programación y nos ayudes a difundir nuestra información.