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Solución:
No existe tal cosa como un “conjunto abierto”, solo un subconjunto abierto de un espacio topológico. “El soltero $ 1 $ es un conjunto abierto” no es un enunciado significativo; el enunciado significativo es si el singleton $ 1 $ es un subconjunto abierto de algún espacio topológico que contiene $1$. Por ejemplo, no es un subconjunto abierto de $matemáticasR$o del intervalo cerrado ps[0, 1]ps (con sus topologías habituales). Sin embargo, es un subconjunto abierto de sí mismo, considerado como un espacio de un punto (que tiene una topología única).
Los conjuntos en una topología son abiertos por definición; eso es lo que significa “abierto”.
Sugiero que cuando comience a aprender topología, ignore por completo el significado común en inglés de la palabra “abierto” y solo trabaje con los axiomas de manera abstracta por un tiempo. No es la forma más divertida o intuitiva de hacerlo, pero al menos no dejas que las ideas preconcebidas se interpongan en el camino. Además, realmente no recomiendo esto como una forma de comprender mejor el cálculo; será mejor que elija un libro de texto sobre análisis real.
El objetivo de tener una topología general es que puedes definir qué conjuntos están y no están “abiertos”, para hacer las reglas del juego y luego ver qué hace eso y cómo son las cosas diferente en el “mundo” así creado frente a los números reales habituales. Si tomamos la idea de que un conjunto abierto “no contiene su propio límite”, que es lo que buscas pero como lo escuché originalmente, poder definir conjuntos abiertos para que sean lo que quieras que sean (hasta luego a medida que cumple con las reglas sobre cómo deben estructurarse bajo unión e intersección) significa, en efecto, puedes definir qué constituye un “límite” y qué no. Tienes la oportunidad de hacer lo que es y no es un “punto final”.
Para ver por qué eso tiene un impacto, tenga en cuenta que la única razón por la que $0$ y $1$ son “límites” de $(0, 1)$ se debe a la ordenación de los reales, lo que asegura que $0 < x < 1$ cuando sea $x en (0, 1)$y además, no hay nada entre 0 y 1 y el conjunto $(0, 1)$es decir, sin puntos $y$ tal que $0 < y < x$ por cada$x en (0, 1)$y de manera similar para $1$.
Pero supongamos que reordenamos los reales, de modo que ambas cosas puntos $0$ y $1$ vino antes de los puntos que consideramos que están en $(0, 1)$ (en la definición habitual). Por ejemplo, supongamos que ordenamos que los reales se vean como
$$(textcosas) < 0 < 1 < 2 < (textcosas) < (textlos números en $(0, 1)$) < (textmás cosas)$ ps
Ahora, de repente, $(0, 1)$ ya no tiene puntos límite $0$ y $1$. Por lo tanto, no existe una noción absoluta de un “punto límite”. Depende del orden, y simplemente redefinimos cuál era el límite al redefinir el orden.
Y la topología es aún más flexible que eso. Y los pedidos son solo una fuente, pero lejos de ser la única, de topologías.