Luego de de una extensa compilación de datos hemos podido solucionar este inconveniente que tienen algunos lectores. Te regalamos la respuesta y nuestro objetivo es serte de mucha apoyo.
Solución:
Las cumulantes tienen muchos otros nombres según el contexto (estadística, teoría cuántica de campos, mecánica estadística,…): seminvariantes, funciones de correlación truncada, funciones de correlación conexa, funciones de Ursell… Yo diría que la $n$-ésima cumulante $langle X_1,ldots,X_nrangle^T$ de variables aleatorias $X_1,ldots,X_n$ mide la interacción de las variables que es genuinamente del tipo de $n$-cuerpo. Por interacción entiendo lo contrario de independencia. Denotando la expectativa por $langlecdotrangle$ como en la mecánica estadística, la independencia implica la factorización $$ langle X_1cdots X_nrangle=langle X_1ranglecdotslangle X_nrangle . $$ Si las variables son gaussianas y están centradas, por ejemplo $$ langle X_1 X_2 X_3 X_4rangle=langle X_1 X_2ranglelangle X_3 X_4rangle +langle X_1 X_3ranglelangle X_2 X_4rangle + langle X_1 X_4ranglelangle X_2 X_3rangle $$ por lo que la falta de factorización se debe a interacciones $2$-cuerpo: es decir, la ausencia de factorización para $langle X_i X_jrangle$. El $4$-ésimo cumulante para variables con momentos de fuga de orden impar sería la diferencia $LHS-RHS$ para la ecuación anterior. Así mediría la “interacción” entre las cuatro variables que se debe a que conspiran todas juntas en lugar de ser consecuencia de conspirar en grupos de dos a la vez. Para cumulantes superiores, la idea es la misma.
Los cumulantes están definitivamente relacionados con la conectividad. Por ejemplo, para variables cuya densidad de probabilidad conjunta es un múltiplo de una Gaussiana por un factor $exp(-V)$ donde $V$ es cuártico, uno puede al menos escribir formalmente los momentos como una suma de diagramas de Feynman. Los cumulantes están dados por sumas similares con el requisito adicional de que estos diagramas o gráficos deben estar conectados.
Algunas referencias:
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Capítulos 1 y 4 del libro “Integrales de trayectoria en mecánica cuántica” de Zinn-Justin.
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Mi artículo “Diagramas de Feynman en combinatoria algebraica”. Aunque se aplica a un contexto algo diferente, explica la combinatoria de los diagramas de Feynman en términos de la teoría de las especies de Joyal.
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La revisión “Diagramas de Feynman para peatones y matemáticos” de Polyak. Sin embargo, la discusión (por ejemplo, en la Sección 4.5) del tema de la convergencia no da una idea precisa de esta área de investigación.
Podría ser útil tener una perspectiva más amplia: en algunos contextos (en particular, la óptica cuántica) el énfasis no está en los cumulantes sino en cumulantes factoriales, con función generadora $h(t)=log E(t^X)$. Mientras que los cumulantes le dicen qué tan cerca está una distribución de una distribución normal, los cumulantes factoriales le dicen qué tan cerca está de una distribución de Poisson (ya que los cumulantes factoriales de orden dos y superior desaparecen para un proceso de Poisson).
Entonces, pensaría que cualquier papel privilegiado de los cumulantes está relacionado con el predominio de las distribuciones normales.
Una buena pregunta, con probablemente muchas respuestas posibles. Le daré una oportunidad. Creo que hay que señalar tres fenómenos.
i) La función cumulante es la transformada de Laplace de la distribución de probabilidad. La singularidad de las transformadas de Laplace le dice que la función cumulante se puede usar para caracterizar completamente su distribución de probabilidad (y en particular, sus propiedades como su conectividad o cohesión, cualquiera que sea). Dado que una distribución de probabilidad es esencialmente una medida y, a menudo, es más conveniente trabajar con funciones, la transformada de Laplace es útil. Como ejemplo, todos los momentos pueden calcularse a partir de la función cumulante, y las distribuciones de probabilidad para las que los momentos coinciden son las mismas (bajo algunas condiciones adicionales). La idea de transformar una distribución de probabilidad en una función también se ejemplifica con la transformada de Fourier de una distribución de probabilidad, es decir, la función característica $u mapsto mathbb E[e^i u X ]$, con $u in mathbb R$. Para esta transformada existe el conocido resultado de que la convergencia puntual de las funciones características es equivalente a la convergencia débil (convergencia estrecha desde el punto de vista del análisis) de las medidas de probabilidad correspondientes. Ver [Williams, Probability with Martingales].
ii) Sumas de variables aleatorias independientes. Sus distribuciones de probabilidad están dadas por convoluciones y, por lo tanto, es difícil trabajar con ellas. En el dominio de Laplace/Fourier, esta dificultad desaparece.
iii) El principio soft-max. Esta idea juega un key papel en la teoría de las grandes desviaciones. Tenga en cuenta que $frac 1 t log mathbb E[e^t X] rightarrow mathrmess sup X$ como $t rightarrow infty$. La terminología relacionada es la ‘aproximación de Laplace de una integral’ en física (ver aquí). Las extensiones de esta idea, combinadas con una pequeña cantidad de teoría de optimización convexa (en particular, las transformadas de Legendre-Frenchel), permiten deducir estimaciones sobre la distribución de sumas de variables aleatorias (no necesariamente independientes). Consulte, por ejemplo, el teorema de Gärtner-Ellis en cualquier libro de texto sobre teoría de grandes desviaciones (se recomiendan [Varadhan], [den Hollander] o [Dembo and Zeitouni]), o aquí. Una vez más, esto explica principalmente por qué el cumulante es útil, pero no realmente qué es.
El resumen algo decepcionante es que, a partir de las observaciones anteriores, parece que la función cumulante (log) es principalmente un dispositivo técnico. Pero uno muy útil.
Con suerte, alguien más tiene una sugerencia sobre cómo se puede dar a la función cumulante un significado más intuitivo, tal vez incluso relacionado con su sugerencia de la función cumulante que mide la cohesión de las medidas de probabilidad. Ciertamente estaría interesado en tal explicación.