Solución:
Está bien, después de un lote más investigación, creo que he llegado al fondo de esto. En realidad, estoy seguro de que solo se está acercando al fondo, ya que he encontrado esta área temática bastante profunda, pero creo que me he acercado lo suficiente como para arrojar algo de luz.
Un error básico
Un punto de inflexión en mi comprensión fue cuando me di cuenta de que la ecuación con la que comencé en el OP:
$$ G = frac {A_o} {1 + A_o beta} $$
es un ecuación del diagrama de bloques, No un ecuación del circuito. Esas son dos cosas diferentes y la traducción entre una y otra a menudo no es trivial. El hecho de que la traducción es trivial para el simple caso del amplificador operacional no inversor es quizás una trampa para los incautos, sin duda una en la que caí de cabeza primero 🙂
Veremos por qué eso importa en breve.
Que es ganancia de ruido, ¿De Verdad?
La ganancia de ruido (en un circuito de amplificador operacional) es la ganancia experimentada por una pequeña señal aplicada en la entrada no inversora (+).
Se llama así porque el ruido se indica con frecuencia como “referido a la entrada”, es decir, la señal de ruido que debería estar presente en la entrada para producir una salida de ruido especificada. Esto permite que el ruido que se origina en varias partes del amplificador operacional se “agrupe” en un único valor equivalente, simplificando cualquier análisis al que realmente no le importe dónde se origina el ruido dentro de la caja negra.
En un amplificador no inversor simple, la ganancia de ruido es la misma que la ganancia de señal:
Eso tiene sentido cuando se considera que la señal se aplica directamente a la entrada no inversora, y un pequeño voltaje diferencial aplicado en ese nodo experimentaría precisamente la misma ganancia que la señal.
Creo que una vista de diagrama de bloques muestra esto con mayor claridad. Probablemente no sea estrictamente necesario para comprender este simple caso no inversor, pero lo encontré crucial para comprender el caso general. Además, $ beta $ es una variable de diagrama de bloques, por lo que podemos evitar traducciones mentales repetidas de bloque a circuito si nos mantenemos en el dominio del diagrama de bloques cuando lo usamos para razonar.
El nodo $ + $ en el bloque sumador corresponde a la entrada no inversora del amplificador operacional (en este caso, pero no en general como veremos a continuación). Es fácil ver que no hay diferencia entre una señal de ruido y una señal “real” aplicada allí y la ganancia de ruido en este caso es:
$$ NG = frac {A_o} {1 + A_o beta} $$
Ahora, en su libro, Walter Jung define la ganancia de ruido como $ 1 / beta $. Y espero que todos sepamos que la ecuación de arriba es aproximadamente $ 1 / beta $ cuando $ A_o beta gg 1 $. De hecho, esta aproximación es excelente para obtener la ganancia de ruido de CC, la posición del eje Y de la parte plana larga al comienzo de su curva de magnitud en el gráfico de Bode. Pero si quieres ver su dependiente de la frecuencia comportamiento (por ejemplo, para trazarlo en SPICE), debe usar la forma larga.
Bien, estamos en camino de cómo calcular la ganancia de ruido en el caso general, pero queda un desafío: ¿Cómo determinamos el valor de beta ( $ beta $)? Puede que no sea obvio al principio, pero esto es un desafío porque los componentes que contribuyen a la beta pueden además contribuir a otros bloques. No hay garantía de que la red de comentarios los tenga todos para sí; de hecho, no necesitamos buscar más allá de la configuración del amplificador inversor para ver un ejemplo de ellos “compartidos” (quizás más precisamente, interdependiente).
Considere el circuito amplificador inversor a continuación:
El diagrama de bloques de este circuito resulta ser el siguiente:
No explicaré los detalles de cómo llegar aquí desde el diagrama del circuito, pero eso podría ser una pregunta de seguimiento interesante si quisiera publicarla. Básicamente, crea un equivalente de Thevenin mirando en $ R_f $ desde el terminal inversor y luego usa la superposición para obtener las dos contribuciones al nodo sumador. Tenga en cuenta que aquí, $ V_e $ representa $ V_- – V _ + $ en las entradas del amplificador operacional, por lo que $ A_o $ y $ beta $ tienen signos menos en sus expresiones.
Hay un par de cosas interesantes que podemos ver:
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La señal de entrada $ v_ {in} $ no aparece directamente en el nodo sumador. Primero se atenúa con $ T_i $ ( $ T_i $ aquí significa transmitancia de entrada). Esto explica por qué la ganancia de ruido no es igual a la ganancia de señal para la topología inversora. La ganancia de ruido es un atributo de el bucle del amplificador central, no el circuito en general.
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$ beta $ es el mismo que para el caso sin inversión (una vez que haya resuelto los signos). Esto explica por qué la ganancia de ruido es la misma para las topologías inversora y no inversora.
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$ R_f $ y $ R_ {in} $ aparecen en ambos las expresiones de bloque $ beta $ y $ T_i $. Esto refleja la interdependencia entre la red de retroalimentación y la red de atenuación de entrada. Por tanto, cambiar una de las impedancias cambia tanto la señal como la ganancia de ruido. Por lo tanto, no es posible modificarlos por separado cambiando los valores de los componentes de la red de retroalimentación existente.
Entonces, ¿qué es “forzar la ganancia de ruido” y por qué funciona?
Me metí en esta cuestión de la ganancia de ruido persiguiendo un interés en la estabilidad / compensación del amplificador operacional, no en el ruido. Encontré un par de referencias que decían (parafraseado) “… Forzar la ganancia de ruido es una poderosa técnica de compensación que muchos ingenieros analógicos no conocen. … “. Mi reacción fue:” Hmm, ¡suena interesante! ¡Me encantan las artes negras analógicas! ¿Qué es la ganancia de ruido? ¿Y cómo lo obligo a hacer algo que no quiere? “
Bueno, después de esta investigación reciente, me inclino a pensar “forzar la círculo ganancia “(hacia abajo) es una expresión más adecuada, ya que eso es lo que mejora la estabilidad. La ganancia del bucle es $ A_o beta $; cambiar $ beta $ no es la única forma de cambiar ese producto. Esto se volverá más claro en un minuto.
Como recordatorio, así es como se ve el circuito de “ganancia de ruido forzada” de arriba, aplicado a un amplificador no inversor:
Si hacemos el mismo análisis equivalente de Thevenin para aislar los bloques de retroalimentación y entrada, terminamos con un diagrama de bloques que se ve así:
Podemos observar algunos puntos interesantes:
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La ruta de retroalimentación está atenuada por $ T_f $. Esto reduce efectivamente la fracción de retroalimentación, aumentando la ganancia de bucle cerrado del bucle del amplificador central, también conocido como ganancia de ruido.
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La entrada es atenuada por $ T_i $, que es exactamente lo mismo que $ T_f $. Esto normalmente tendría el efecto de disminuir la ganancia total de la señal del circuito. Sin embargo, en este caso, esa disminución se compensa exactamente con el aumento de la ganancia de ruido y la ganancia de señal general no se ve afectada.
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Debido a que $ T_i $ y $ T_f $ son iguales y debido a que ambos aparecen inmediatamente antes de un bloque de suma, el álgebra del diagrama de bloques nos permite mover ese bloque al otro lado del verano como se muestra en la siguiente figura. Sin embargo, solo una advertencia, mientras que las manipulaciones del diagrama de bloques como este todavía le dan la respuesta correcta para la función de transferencia general $ V_ {out} / V_ {in} $, la correspondencia de cualquier señal dada (línea de conexión) a una un punto físico del circuito se puede interrumpir.
Adoptando el diagrama equivalente que esto nos da, vemos que la reducción deseada en la ganancia del bucle se puede lograr atenuando la ganancia del amplificador principal, sin producir un cambio en la ganancia general de la señal (a bajas frecuencias).
Hay un video realmente excelente desarrollado por el difunto profesor James Roberge del MIT (comenzando alrededor de las 35:17). Terminé viendo la serie completa de 20 conferencias (la mayoría dos veces 🙂 y la recomiendo encarecidamente 🙂
También descubrí cómo trazar directamente la ganancia de ruido en LTspice, lo he publicado como una pregunta de seguimiento si desea echar un vistazo: ¿Cómo trazo la ganancia de ruido de un circuito de amplificador operacional en SPICE?
La ganancia de ruido es cómo el ruido (interno a la entrada de un amplificador operacional) es amplificado por las resistencias de retroalimentación EN CONJUNCIÓN CON (muy importante) la capacitancia “invisible” de la entrada inversora a tierra, es decir, la capacitancia parásita de las entradas. Considere el amplificador estándar no inversor: –
Normalmente asumimos que el voltaje de salida es igual a $ V_ {IN} times 1 + dfrac {R2} {R1} $ hasta que la frecuencia alcanza el límite donde la ganancia de bucle abierto descendente hace que la ganancia de bucle cerrado disminuya en consecuencia. Voy a agregar dos cosas al circuito anterior que hacen que las cosas sean más relevantes en términos de cómo se analiza la ganancia de ruido: –
Los dos componentes agregados son la capacitancia de fuga de la entrada inversora y la fuente de ruido interno dentro de cada entrada del amplificador operacional.
Desde la perspectiva del ruido (y la señal), la ganancia aumenta con el condensador agregado a través de R1. R1 es derivado (a altas frecuencias) por la reactancia del condensador. Esto significa que tanto la ganancia de la señal como (digamos) la amplificación del ruido aumentan.
Entonces, la parte final de esta historia es una trama de Bode: –
Desde CC hacia arriba, la amplificación está determinada por la ganancia convencional, es decir, 1 + R2 / R1 y luego, en algún momento, C1 comienza a derivar progresivamente R1 y la ganancia aumenta con la frecuencia. Esta ganancia ascendente continúa hasta que se encuentra con la respuesta de bucle abierto y luego, naturalmente, cae a medida que cae la ganancia de bucle abierto.
De esto se trata la ganancia de ruido cuando se aplica a un circuito de amplificador operacional no inversor.
La ganancia de ruido de un amplificador operacional siempre viene dada por $ G_N $ = $ 1 + frac {R_F} {R_ {IN}} $ asumiendo que la ganancia de bucle abierto $ AV_ {OL} $ es >> $ A_ {CL} $ (la ganancia de circuito cerrado) donde para su circuito, $ R_ {IN} $ viene dado por (como nota) $ R_G $ || $ R_N $. Esta es la ganancia no inversora del amplificador y es válida tanto para configuraciones inversoras como no inversoras.
La ganancia de ruido se utiliza para criterios de estabilidad, no la ganancia de señal.
Aquí hay un pequeño gráfico útil:
Si el amplificador tiene una ganancia de bucle abierto muy alta, entonces la ganancia de bucle cerrado es la ganancia de ruido.
Su circuito anterior es el mismo que el circuito C.
Como ha descubierto, al variar $ R_ {IN} $, puede cambiar el margen de estabilidad a expensas de más ruido y compensación.
Definición de la ganancia de bucle cerrado del amplificador:
[Update]
En respuesta a los comentarios:
La ganancia de ruido del amplificador no es un caso especial; siempre es la ganancia no inversora del amplificador y, en última instancia, establece la ganancia de bucle cerrado del amplificador.
La ganancia de ruido es $ 1 + frac {R_F} {R_ {IN}} $ y la ganancia de señal es 1 + $ frac {R_F} {R_G} $.
Tenga en cuenta que $ R_ {IN} $ es siempre la impedancia de entrada vista desde la entrada inversora en CA (por lo que en este caso son entradas en cortocircuito).
Tu fuente de CA tiene cero impedancia y por lo tanto conecta (para propósitos de CA) $ R_ {IN} $ a tierra para propósitos de análisis; intente agregar una impedancia de fuente para ver por qué esto podría cambiar las cosas.
Material de origen.