Solución:
La torsión es un concepto notoriamente resbaladizo. Personalmente, creo que la mejor manera de entenderlo es generalizar más allá del lugar donde las personas aprenden por primera vez sobre la torsión, que generalmente se encuentra en el contexto de las variedades riemannianas. Entonces puede ver que la torsión puede entenderse como una especie de obstrucción a la integrabilidad. Déjame explicarte un poco primero.
La torsión realmente tiene sentido en el contexto de estructuras G generales. Aquí $ G subseteq GL_n ( mathbb {R}) = GL (V) $ es un grupo de Lie fijo. Los ejemplos típicos son $ G = O (n) $ y $ G = GL_n ( mathbb {C}) $. Veremos que estos corresponderán a métricas riemannianas y estructuras complejas respectivamente. Ahora, dados estos datos, tenemos una secuencia exacta de espacios vectoriales,
$$ 0 to K to mathfrak {g} otimes V ^ ast stackrel { sigma} { to} V otimes wedge ^ 2 V ^ ast to C to 0 $$
Aquí $ sigma $ es la inclusión $ mathfrak {g} subseteq V otimes V ^ ast $ junto con la antisimetrización. K y C son el núcleo y el cokernel de $ sigma $.
Si se nos da una variedad con estructura $ G $, entonces obtenemos cuatro paquetes asociados, que encajan en una secuencia exacta:
$$ 0 to rho_1P to ad (P) otimes T ^ * M to rho_3P to rho_4P to 0 $$
Ahora, la diferencia de dos conexiones que son compatibles con la estructura G es un tensor que es una sección del segundo espacio $ rho_2P = ad (P) otimes T ^ * M $. Esto significa que podemos escribir cualquier conexión como $$ nabla + A $$ donde $ A $ es una sección de $ rho_2 (P) $.
Ahora, la torsión de cualquier conexión compatible con G es una sección de este tercer espacio. Supongamos que tenemos dos conexiones compatibles. Entonces sus torsiones son secciones de este tercer espacio. Sin embargo, dado que podemos escribir las conexiones como $ nabla $ y $ nabla + A $, la torsión difiere en $ sigma (A) $. Por tanto, tienen la misma imagen en el cuarto espacio $ rho_4 (P) $.
La sección de este cuarto espacio es la torsión intrínseca de la estructura G. Mide el fracaso de nuestra capacidad para encontrar una conexión libre de torsión. Si esta obstrucción desaparece, entonces las conexiones libres de torsión forman un torso sobre secciones del paquete más pequeño $ rho_1P $. Ahora algunos ejemplos:
- $ G = O (n) $. Este es el caso de una estructura riemanniana. En este caso $ sigma $ es un isomorfismo de modo que siempre hay una conexión única libre de torsión. La conexión Levi-Civita.
- $ G = GL_m ( mathbb {C}) $. Este es el caso de una estructura compleja. Más precisamente, una estructura $ GL_m ( mathbb {C}) $ – es lo mismo que una estructura casi compleja. En este caso, la torsión intrínseca se puede identificar con el tensor de Nijenhuis. Por tanto, desaparece precisamente cuando la estructura casi compleja es integrable (es decir, una estructura compleja ordinaria).
- $ G = Sp (n) $. Tener una estructura $ Sp (n) $ – en una variedad para la cual la torsión intrínseca desaparece es equivalente a tener una variedad simpléctica.
A partir de estos ejemplos, puede ver que la desaparición de la torsión puede verse como una especie de condición de integrabilidad. En estos dos últimos casos, el espacio de conexiones libres de torsión consta de más de un solo punto. Hay muchas conexiones de este tipo. Esa es una de las razones por las que no los vemos aparecer con más frecuencia.
Aquí hay un ejemplo que encontré útil cuando aprendí sobre la torsión. Considere $ mathbb {R} ^ 3 $. Deje que $ X $, $ Y $ y $ Z $ sean los campos del vector de coordenadas, y tome la conexión para la cual $$ begin {matrix} nabla_X (Y) = Z & nabla_Y (X) = – Z \ nabla_X (Z) = – Y & nabla_Z (X) = Y \ nabla_Y (Z) = X & nabla_Z (Y) = – X end {matriz} $$
Un cuerpo sometido a traslación paralela para esta conexión gira como una pelota de fútbol americano: alrededor del eje de movimiento con una velocidad proporcional a su velocidad. Entonces, las geodésicas son líneas rectas, y esta conexión conserva la métrica estándar, pero tiene torsión y, por lo tanto, no es la conexión Levi-Cevita.
Un enfoque casi demasiado básico para dar, pero creo que la única forma de entrar intuitivamente bajo el capó de la torsión (al menos en el sentido de Levi-Civita) es comprender realmente las ideas del soporte de Lie y la conexión:
Estamos acostumbrados al hecho, trabajando en $ mathbb {R} ^ n $, que las derivadas parciales conmutan: $ frac { partial} { partial x_i} circ frac { partial} { partial x_j} = frac { parciales ^ 2} { parciales x_ix_j} = frac { parciales} { parciales x_j} circ frac { parciales} { parciales x_i} $. Pero esto no solo es falso en la configuración de las variedades $ C ^ 2 $ generales, sino que tampoco tiene sentido: sin coordenadas globales a las que recurrir, necesitamos alguna otra forma de definir una “dirección de diferenciación” globalmente. Afortunadamente, eso es exactamente lo que hacen los campos vectoriales, por lo que ahora nuestra ecuación actualizada $ frac { partial} { Partical X} circ frac { Partical} { Partical Y} = frac { Partical} { Partical Y} circ frac { partial} { partial X} $ tiene sentido (módulo algunas cuestiones de notación) – nuestro único problema es su falsedad en general, que medimos con el corchete de Lie.
Ahora podría ser tentador culpar a nuestros campos vectoriales por la naturaleza general distinta de cero del corchete de Lie; tal vez obtenemos corchetes de Lie distintos de cero justo cuando elegimos un campo vectorial realmente extraño … pero un examen detallado (de, digamos, la imagen de los campos del vector de coordenadas debajo del diferencial de su mapa gráfico de faourite) revela que este no es el caso. De hecho, la $ C ^ 2 $ ness del campo vectorial asegura que, en un nivel infinitesimal, nuestros campos vectoriales nunca son realmente muy patológicos: lo que mide el corchete de Lie es algo mucho más intrínseco sobre nuestra variedad, acerca de cómo los campos vectoriales debe localmente se tuercen a medida que se mueven uno junto al otro para mantener el tiempo con la métrica.
Pero diciéndonos cómo los campos vectoriales hacer moverse uno junto al otro es el trabajo de una conexión, que, al darnos $ nabla_X Y $, prescribe $ frac { parcial} { parcial X} Y $, pero $ Y $ es realmente $ frac { parcial } { Y parcial} $ entonces esto ‘prescribe un valor’ para el corchete de Lie como $ nabla_X Y- nabla_Y X $.
Restar el primero del segundo da el giro infinitesimal real menos el giro infinitesimal necesario para dar el ‘giro innecesario’ de la conexión.