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La idea de la parametrización es que tiene alguna ecuación para un subconjunto $ X $ de un espacio (a menudo $ mathbb R ^ n $), por ejemplo, la ecuación habitual $$ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $$ para el círculo unitario $ C $ en $ mathbb R ^ 2 $, y desea describir una función $ gamma (t) = (x (t), y (t)) $ que traza ese subconjunto ( o, a veces, solo una parte) ya que $ t $ varía.
Con una parametrización en la mano, puede especificar un punto en $ X $ simplemente dando un valor único de $ t $, que corresponde al punto $ gamma (t) $ en $ X $. Todavía se pueden dar puntos en $ X $, digamos, $ (x, y) $, directamente, por supuesto, pero esto tiene la desventaja de que a menudo es necesario comprobar que un punto determinado $ (x, y) $ está en $ X $, es decir, que satisface la ecuación que define $ X $, mientras que por construcción un punto $ gamma (t) $ siempre está en $ X $. Siempre que la función $ gamma (t) $ traza todo $ X $, decimos que $ X $ es el imagen de $ gamma $.
En su ejemplo, podemos parametrizar el círculo unitario $ C $ por el función paramétrica $$ gamma (t) = (x (t), y (t)): = ( cos t, sin t). $$ Podemos comprobar que los puntos especificados por $ gamma (t) $ realmente miente en $ C $ simplemente sustituyendo $ cos t $ por $ x $ y $ sin t $ por $ y $; de hecho: $$ ( cos t) ^ 2 + ( sin t) ^ 2 = 1. $$ No es demasiado difícil demostrar que $ gamma $ en realidad traza el círculo completo $ t $ (de hecho, esto es una consecuencia inmediata de las definiciones geométricas habituales de $ cos $ y $ sin $). Tenga en cuenta también que esta parametrización se traza sobre el círculo infinitas veces y, en particular, hay más de un valor $ t $ correspondiente a cualquier punto del círculo. De hecho, dado que los componentes $ cos t $ y $ sin t $ de $ gamma (t) $ tienen un período $ 2 pi $, tenemos $ gamma (t + 2 pi) = gamma (t) $ para todos los $ t $.
También hay muchas otras parametrizaciones para todo o parte del círculo, y cuál es mejor depende del contexto. Sustituir los componentes en $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ (¡prueba esto!) Muestra que para todo $ t $, $$ alpha (t): = left ( frac 2t t ^ 2 + 1, frac t ^ 2 – 1 t ^ 2 + 1 right) $$ está en el círculo unitario, y con un poco más de trabajo podemos mostrar que (1) $ alpha $ traza el círculo con la única excepción del punto $ (0, 1) $ (porque tenemos $ frac t ^ 2 – 1 t ^ 2 + 1 <1 $ para todos los $ t $), y (2) es inyectivo, es decir, solo traza sobre el círculo (perforado) una vez. Esta parametrización se ve cualitativamente diferente de la parametrización trigonométrica $ gamma (t) $ anterior, pero están relacionadas por un cambio inteligente e importante de variable relacionada con las triples pitagóricas y que resulta ser extremadamente útil para evaluar ciertas integrales.
Por cierto, también se pueden parametrizar superficies (e incluso objetos de dimensiones superiores); la diferencia más importante es que las parametrizaciones (al menos sensibles) de superficies requieren dos parámetros, como consecuencia del hecho de que en superficies uno puede moverse en dos direcciones independientes. Un ejemplo simple es la parametrización $ bf r ( phi, theta) $ de la esfera unitaria $$ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 $$ por latitud $ phi $ y longitud $ theta $: $$ bf r ( phi, theta): = ( cos phi cos theta, cos phi sin theta, sin phi). $$ Al dar latitud una longitud de un punto en la Tierra, normalmente especificamos puntos con latitud $ -90 ^ circ leq phi leq 90 ^ circ $ y longitud $ -180 ^ circ leq theta leq 180 ^ circ $. (Aquí, los puntos con $ phi = 0 ^ circ $ comprenden el ecuador, y los puntos con $ theta = 0 ^ circ $ el “primer meridiano”).
Muchas formas comunes (líneas, círculos, otras secciones cónicas, planos, esferas, etc.) tienen parametrizaciones bien conocidas y los gráficos de funciones $ mathbb R ^ m to mathbb R ^ n $ tienen parametrizaciones canónicas que son fáciles de escribir, pero como dices, para formas suficientemente complicadas la parametrización puede ser un problema muy difícil.
A menudo, una curva $ gamma $ en el plano se define como el conjunto de puntos $ (x, y) $ que satisfacen una determinada condición geométrica o algebraica. Un ejemplo es $$ gamma: = bigl > x ^ 2 over a ^ 2 + y ^ 2 over b ^ 2 = 1 bigr , tag 1 $$ donde se dan los valores de $ a> 0 $ y $ b> 0 $. Tal descripción es implícito; simplemente proporciona una prueba rápida de si un punto de prueba $ (x, y) $ está en $ gamma $ o no.
Cuando realmente queremos analizar geométricamente la curva $ gamma $, lo que significa calcular su longitud o el área encerrada, etc., entonces necesitamos un representación paramétrica. Esto es un esquema de producción que produce todos los puntos de $ gamma $ de una manera sistemática y analíticamente manejable. De esta manera, los puntos de la curva $ gamma $ en $ (1) $ son producidos por la función de valor vectorial $$ t mapsto left { eqalign x (t) &: = a cos t cr y (t) &: = b sin t cr right. qquad (0 leq t leq 2 pi) tag 2 $$ de una manera $ 1: 1 $, donde $ t = 0 $ y $ t = 2 pi $ producen el mismo punto.
Dado que una representación implícita de una curva $ gamma: > F (x, y) = 0 $ no determina una representación paramétrica (un “horario”) $ t mapsto bigl (x (t), y (t) bigr) > $ de una manera única existe sin procedimiento automático (como la multiplicación de dos polinomios o el cálculo de una derivada) que genera una representación paramétrica a partir de una ecuación $ F (x, y) = 0 $; de donde se pide experiencia e intuición. A veces, puede resolver una ecuación de este tipo para $ y $ y obtener una representación como un gráfico en la forma $ x mapsto bigl (x, y (x) bigr) > $.
Que las matemáticas profundas están involucradas aquí se puede ver en el siguiente ejemplo simple: La ecuación de apariencia inocente $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ determina una curva $ gamma $ que encierra un área de $ pi $ y cuya longitud es $ 2 pi $.
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