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¿Qué es la notación “Bra” y “Ket” y cómo se relaciona con los espacios de Hilbert?

Solución:

En resumen, los kets son vectores en su espacio de Hilbert, mientras que los sujetadores son funcionales lineales de los kets al plano complejo.

$$ left | psi right> in mathcal {H} $$

begin {split} left < phi right |: mathcal {H} & to mathbb {C} \ left | psi right> & mapsto left < phi middle | psi right> end {split}

Debido al teorema de Riesz-Frechet, se puede establecer una correspondencia entre $ mathcal {H} $ y el espacio de funcionales lineales donde viven los sujetadores, por lo que la notación puede ser ligeramente ambigua.

Si desea una explicación un poco más detallada, consulte la página 39 en adelante de Galindo & Pascual: http://www.springer.com/fr/book/9783642838569.

Primero, la notación $ bra $ c $ ket $ es simplemente una conveniencia inventada para simplificar y abstraer en gran medida las manipulaciones matemáticas que se realizan en la mecánica cuántica. Es más fácil comenzar a explicar el vector abstracto que llamamos “ket”. El vector ket $ | psi rangle $ es un vector abstracto, tiene un cierto “tamaño” o “dimensión”, pero sin especificar en qué sistema de coordenadas estamos (es decir, la base), todo lo que sabemos es que el vector $ psi $ existe. Una vez que queramos escribir los componentes de $ psi, $ podemos especificar una base y ver la proyección de $ psi $ en cada uno de los vectores base. En otras palabras, si $ | psi rangle $ es un vector 3D, podemos representarlo en la base estándar $ {e_1, e_2, e_3 } $ como $ psi = langle e_1 | psi rangle | e_1 rangle + langle e_2 | psi rangle | e_2 rangle + langle e_3 | psi rangle | e_3 rangle, $ donde observa que $ langle e_i | psi rangle $ es simplemente el coeficiente de la proyección en la dirección $ | e_i rangle $.

Si $ | psi rangle $ vive en un espacio funcional (un espacio de Hilbert es el tipo de espacio funcional utilizado en QM, porque necesitamos la noción de un producto interno y de integridad), entonces se podría medir de manera abstracta el coeficiente de $ psi $ en cualquier punto dado punteando $ langle x | psi rangle = psi (x) $, tratando cada punto $ x $ como su propia coordenada o su propio vector base en el espacio funcional. Pero, ¿y si no usamos la base de la posición? Digamos que queremos la representación de base de Fourier de frecuencia de impulso. Simple, tenemos un vector Ket abstracto, ¿cómo determinamos su representación en una nueva base? $ langle p | psi rangle = hat { psi} (p) $ donde $ hat { psi} $ es la transformada de Fourier de $ psi (x) $ y $ | p rangle $ son los vectores base de fourier- espacio. Entonces, con suerte, esto da una buena idea de lo que es un vector Ket, solo un vector abstracto que espera ser representado de alguna manera.

El vector “sujetador” … no es el concepto más intuitivo al principio, asumiendo que no tienes mucha experiencia en análisis funcional. Matemáticamente, las respuestas anteriores discuten cómo el bra-vector es un funcional lineal que vive en el espacio hilbert dual … todo un galimatías para la mayoría de las personas que recién comienzan a aprender este material. El caso de dimensión finita es el lugar más fácil para comenzar. Los vectores Ket son matrices verticales $ n veces 1 $, donde $ n $ es la dimensión del espacio. Los vectores sujetador son matrices horizontales de $ 1 times n $. “Identificamos” el vector ket $ | a rangle = (1,2,3) ^ T $ con el vector bra $ langle a | = (1,2,3), $ aunque no son estrictamente hablando “el mismo vector”, uno se corresponde con el otro de manera obvia. Entonces, si definimos $ langle a | a rangle equiv a cdot a in mathbb {R} $ en el caso de dimensión finita, vemos que $ langle a | $ actúa sobre el vector ket $ | a rangle $ para producir un real (complejo) número. Esto es exactamente lo que llamamos un “funcional lineal”. Entonces vemos que tal vez sería razonable definir un espacio completamente nuevo de estos vectores horizontales (llamémoslo espacio dual), teniendo en cuenta que cada uno de estos vectores en el espacio dual tiene la propiedad de que cuando actúa sobre un vector ket , produce un número real (complejo) a través del producto escalar.

Finalmente, nos quedamos con el caso de dimensión infinita. Ahora tenemos la motivación para definir el espacio de todos los vectores-bra $ langle psi | $ como el espacio de todas las funciones, de modo que cuando se le da otra función como entrada, produce un número real (complejo). Hay muchos teoremas hermosos de Riesz y otros que establecen la existencia y unicidad de este espacio de elementos y su representación en un espacio de Hilbert, pero antes de esa discusión, lo intuitivo es decir que bra $ langle phi | $ estar muy vagamente definido como la función $ phi ^ * $, y que cuando le da la función de entrada $ psi (x), $ el símbolo significa $ langle phi | psi rangle = int phi ^ * psi ; dx in mathbb {R}, $ por lo tanto $ phi $ está en el espacio dual y actúa sobre un vector ket en el espacio de Hilbert para producir un número real. Si algo necesita una aclaración, solo pregunte. Es una notación que vale la pena dominar, ya sea matemático o físico.

Me gustaría ampliar la respuesta de Alex, así como responder a su pregunta en los comentarios: “¿Es el” sujetador “básicamente algo así como el producto punto?”

Si tiene un espacio vectorial $ V $ sobre un campo $ F $, que por ahora es de dimensión finita, puede crear otro espacio vectorial, $ V ^ * $, llamado espacio dual de $ V $, que consta de funcionales lineales definidos en $ V $. Los funcionales lineales son esencialmente mapas lineales con valores escalares.

Entonces $$ V ^ * = { omega: V rightarrow F | omega text {es lineal} }. $$

Resulta que si $ V $ es $ n $ -dimensional, también lo es $ V ^ * $, sin embargo, no se puede decir nada más que eso. PERO, si $ V $ es real y tiene un producto escalar, entonces $ V $ y $ V ^ * $ son canónicamente isomorfos, en el sentido de que si tienes un producto escalar $ langle y, x rangle $ , entonces existe un $ omega_y único en V ^ * $ lineal funcional tal que $$ omega_y (x) = langle y, x rangle, $$ y si tienes un funcional lineal $ omega $, entonces hay existe un $ y_ omega único en V $ vector tal que $$ langle y_ omega, x rangle = omega (x). $$ En estos casos, puede identificar funcionales lineales con vectores y viceversa, y puede tomar un producto escalar como la acción de un funcional lineal sobre el vector y viceversa.

Lo que dije anteriormente no es cierto para los espacios vectoriales de dimensión infinita en general, sin embargo, es cierto para los espacios de Hilbert, siempre que considere funcionales lineales continuos (en un espacio de dimensión finita, todas las cosas lineales son continuas).

Observaré que lo anterior también es cierto para espacios vectoriales complejos con la salvedad de que, dado que el producto escalar es sesquilíneo, en lugar de bilineal, la correspondencia entre el espacio vectorial y su dual no es un isomorfismo sino una biyección lineal conjugada.

Con esto en mente, en QM, un vector escrito como $ | psi rangle $ es un elemento de un espacio de Hilbert $ mathcal {H} $, un “sujetador” escrito como $ langle psi | $ es un elemento de El espacio continuo de duales de $ mathcal {H} $, el “bra-ket” escrito como $ langle psi | chi rangle $ es ambos la acción de $ langle psi | $ en $ | chi rangle $ y el producto escalar de $ | psi rangle $ y $ | chi rangle $, donde se entiende que $ langle psi | $ es el “par dual” de $ | psi rangle $ a través de este conjugado lineal biyección entre $ mathcal {H} $ y $ mathcal {H} ^ * $.

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