Solución:
Si pasa una señal a través de un sistema lineal, la salida no tendrá ninguna frecuencia que no estuviera presente en la entrada.
Sin embargo, si el sistema no es lineal, la salida tendrá nuevas frecuencias que no están presentes en la entrada original. Estas nuevas frecuencias son la fuga espectral.
Algunos ejemplos comunes:
a) al evaluar la transformada de Fourier de una señal infinita (o grande), no se puede considerar toda la señal (o no se quiere considerar toda la señal: si está interesado en cómo cambia el espectro con el tiempo, cortará repetidamente la señal, tomando siempre la última parte). La señal se corta mediante una ventana. Este paso no es lineal (es multiplicativo por una función, la ventana) y provocará la creación de nuevas frecuencias artificiales que no están presentes en la entrada real. Eso distorsiona la medida.
b) cuando pasa una señal $ x
Incluso cuando “fuga” se usa generalmente como un término negativo, la creación de nuevas frecuencias es a veces el objetivo. Un ejemplo es un modulador de radio (mueve la señal base a nuevas radiofrecuencias).
Volviendo al caso del analizador de espectro, la transformada de Fourier, la fuga provoca un conflicto de intereses: se espera que muestre el fft de la entrada “actual”, tomando sólo la última parte de la misma. Sin embargo, esta es una ventana muy afilada que provoca una gran fuga. Una ventana más amplia provoca menos distorsión, pero utiliza datos de señal más antiguos.
La mejor forma de ventana es la rectangular, ya que causa la menor distorsión, pero tiene varios problemas. El mayor de ellos es que es imaginario, no existe en el mundo analógico real.
Análisis detallado de algunos ejemplos.
1) dispositivo eléctrico, no lineal, sin memoria: este tipo de dispositivo (resistor, diodo, transistor, …) tiene una salida $ y
Usando la serie de Taylor sobre $ y $ tenemos:
$ y (x
Es el uso típico como entrada de una sola frecuencia $ x
$$ begin {align *} y ( cos (Wt)) & = A + B cos (Wt) + C cos ^ 2 (Wt) + D cos ^ 3 (Wt) + cdots \ & = A + B cos (Wt) + C frac {1+ cos (2Wt)} {2} + D frac { cos (Wt) + cos (3Wt)} {3} + cdots end {align *} $$
Observe cómo la parte lineal B no crea nuevas frecuencias; el no lineal A crea una salida a una nueva frecuencia $ w = 0 $; la parte no lineal C crea $ w = 0 $ y $ w = 2W $; la D no lineal crea $ w = 3W $ y una interferencia sobre $ w = W $; etcétera.
2) Los procesos multiplicativos, y
$ w
Nota: si w
Ahora, si la entrada es $ x
$$ begin {align *} y
Observe cómo los términos de la descomposición de la ventana $ w
c) Procesos multiplicativos usados en multiplexación, $ y
Descomponemos $ x
$$ y
en el caso habitual $ w_i <
Observe cómo todas las frecuencias de $ x