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Solución:
Como ya se mencionó en los comentarios, tiene dos formas de “multiplicar” vectores. Tienes el producto punto y el producto cruzado. Sin embargo, el producto escalar no es un producto.
Cuando multiplicas dos números racionales, obtienes un número racional. Cuando multiplicas dos matrices, obtienes una matriz. Cuando multiplicas dos números complejos, obtienes un número complejo. Así que querrás que tu producto satisfaga que la multiplicación de dos vectores da un nuevo vector. Sin embargo, el producto escalar de dos vectores da un escalar (un número) y no un vector.
Pero tienes el producto cruz. El producto cruzado de dos vectores (tridimensionales) es de hecho un nuevo vector. Así que en realidad tienes un producto. Todavía es un producto un poco extraño porque no es conmutativo. $vecxtimesvecy$ no es (siempre) lo mismo que $vecytimesvecx$.
Ahora sobre la división. Si tienes dos números reales $x$ y $yneq 0$, decimos que $fracxy = z$ exactamente cuando $x = yz$. Entonces en ese sentido podrías definir un tipo de división de vectores.
Sin embargo, nuevamente hay algunos problemas con los vectores. Cuando dividimos por un número real $y$, también podemos considerarlo como multiplicar por el inverso de $y$, es decir, $y^-1$. El inverso de $y$ es ese número único $y^-1$ tal que $yy^-1 = 1$. El número $1$ es ese número “especial” que satisface que $1x = x$ para todos los números reales $x$. Y ves que cualquier número (distinto de cero) dividido es $1$. La pregunta es: ¿cuál sería el equivalente de $1$ para los vectores?
Con los vectores, no tienes esa “unidad”. No existe ningún vector $vec1$ tal que el producto vectorial de $vec1$ con cualquier otro vector $vecx$ sea $vecx$, es decir, $vec 1times vecx = vecx$.
Entonces, de esa manera, realmente no tenemos una división de vectores que “funcione” como lo hace la división de números reales.
Tú lata define la división de vectores, pero como la multiplicación y la división son operaciones relacionadas, solo puede hacerlo eligiendo una definición de multiplicación que lo permita.
Como se ha señalado, en álgebra vectorial normalmente solo definimos los productos punto y cruz. Para dos vectores $a$ y $b$, el producto escalar $acdot b$ nos dice cuánto son paralelos los dos vectores. El producto vectorial $a veces b$ nos dice qué tan perpendiculares son los vectores y, además, nos dice algo sobre su orientación relativa, sobre el plano en el que se encuentran los dos vectores. Te presento sin prueba que el punto y Los productos cruzados contienen toda la información relevante posible de dos vectores. En otras palabras, si uno conoce $a$ y $a cdot b$ y $a times b$, entonces uno puede reconstruir $b$.
De hecho, la fórmula para hacerlo es algo así como
$$b = (a cdot b) a/|a|^2 + (a times b) times a/|a|^2$$
Debería ser intuitivo que $a/|a|^2$ de alguna manera “deshace” estos dos productos. Si hubiera un candidato para $a^-1$, entonces sería $a/|a|^2$.
Pero, ¿cómo podemos hacer esto de una manera formal? La respuesta es definir un nuevo producto, uno que combine las propiedades de los productos punto y cruz en una sola operación. Esta operación se llama la geométrico producto.
Sea $e_1, e_2, ldots, e_n$ una base ortonormal para $mathbb R^n$. El producto geométrico de vectores se define como sigue:
$$e_i e_j = begincasos 1, & i = j \ -e_j e_i, & i neq jendcasos$$
Cuando dos vectores base son iguales y se multiplican por el producto geométrico, el resultado es un escalar, por lo que capturamos el comportamiento del producto escalar. Cuando los dos vectores base son ortogonales, el resultado es antisimétrico y capturamos el comportamiento del producto vectorial. Sin embargo, es importante tener en cuenta que esta parte antisimétrica no da como resultado un vector; más bien, da como resultado un nuevo objeto que llamamos un bivector. Piense en ello como un subespacio plano orientado, al igual que los vectores son subespacios orientados en forma de línea a través de $mathbb R^n$.
El producto geométrico es lineal en sus argumentos, por lo que podemos encontrar el producto geométrico de $a$ y $b$ simplemente dividiéndolos en componentes. Además, el producto geométrico es asociativo, por lo que podemos encontrar $ab$ y luego multiplicar (ya sea a la izquierda o a la derecha) por otro vector $c$, y así sucesivamente. Por ahora, sin embargo, podemos restringirnos al caso de dos vectores. El producto geométrico a menudo se escribe como
$$ab = a cdot b + a cuña b$$
Esta cuña evita claramente un problema con el producto vectorial: no existe en dimensiones fuera de 3 o 7. Sin embargo, la cuña (que produce la parte bivector mencionada anteriormente) existe en cualquier cantidad de dimensiones.
Ahora bien, el producto geométrico admite inversos multiplicativos (esencialmente, división). Mira que $aa^-1 = 1 implica a^-1 = a/a^2$, tal como observé antes. Debido a que el producto geométrico es asociativo, es significativo decir que
$$a^-1 ab = (a^-1 a) b = frac1a^2aab = fraca^2a^2 b = b$$
donde por otro lado, la asociatividad nos da la libertad de agrupar los productos de manera diferente, así:
$$b=a^-1 ab = a^-1 (ab) = a^-1 (a cdot b + a wedge b) = frac1a^2 [a(a cdot b) + a cdot (a wedge b)]$$
que es solo la forma de álgebra geométrica de la descomposición que escribí anteriormente. Aquí, se sigue simplemente de la libertad de agrupar productos como uno crea conveniente. Esta es una técnica poderosa en álgebra geométrica, útil para probar muchas identidades (incluso hasta el cálculo vectorial y más allá).
Aparte de todo eso, ¿cuál es el producto de dos vectores, entonces, bajo el producto geométrico? Es un escalar y un bivector, como hemos establecido. Un nombre para el conjunto de tales objetos es espinores. Los espinores son útiles para representar rotaciones y, de hecho, el producto $ab$ nos da un espinor correspondiente a una rotación de $b$ en la dirección de $a$. En 2 dimensiones, tales espinores tienen solo dos componentes, y estos corresponden a números complejos. En 3 dimensiones, dichos espinores tienen 4 componentes (1 escalar, 3 bivectoriales, para los 3 planos del espacio tridimensional), y estos espinores corresponden a cuaterniones y así sucesivamente. Por lo tanto, el producto geométrico brinda una gran comprensión de la naturaleza de las rotaciones y cómo se pueden construir a partir de vectores.
Dado cualquier vector $b$, puede encontrar algún $c,d$ distinto de cero con $b cdot c=0$ y $b times d=0$ (simplemente tome $c$ perpendicular a $b$, y $d $ paralelo).
Decir que $x=a / b$, donde $/$ es una operación de división que corresponde al producto escalar, debería ser equivalente a decir que $a = b cdot x$. pero si esto es true, entonces también $a = b cdot (x+c)$ donde $b cdot c=0$, entonces también deberíamos decir que $x+c=a/b$. Es decir, la “división de productos escalares” nunca se define de manera única, sin importar la elección de $a$ y $b$. Así que no es realmente un concepto útil. Se aplican comentarios similares a la “división de productos cruzados”; simplemente reemplace $c$ por $d$.
Por otro lado, existe (más o menos) una definición de división vectorial basada en escalar multiplicación: si $a$ y $b$ son vectores paralelos, entonces puedes dividir $a$ entre $b$ para obtener un número real. Por supuesto, esto no está definido para pares generales de vectores. Pero es único siempre que existe, lo que significa que ocasionalmente es un concepto útil…
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