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Solución:
Este es un concepto difícil. Estoy de acuerdo. Actualmente no tenemos evidencia que sugiera que nuestro universo de 4 dimensiones esté incrustado en algún espacio de dimensión superior.
Para una esfera incrustada en un espacio tridimensional, puede optar por utilizar geometría intrínseca o extrínseca. Ambos te darán las mismas medidas.
Pero en nuestro universo, no hay espacio de incrustación de dimensiones superiores al que podamos referirnos. Así que estamos atascados con la geometría intrínseca. Lo que pienso es esto: realmente no hay ninguna razón por la que deba ser true que, por ejemplo, un triángulo tiene ángulos interiores que suman $ 180 ^ o $ o que el producto escalar de los vectores básicos es cero. Cualquiera de estos elementos geométricos que son postulados en la geometría euclidiana no son verdades inherentes sobre el Universo. Son simplemente lo que vemos en nuestra experiencia diaria. Es decir, en cierto sentido se descubren empíricamente.
Entonces, ¿cómo se descubre empíricamente la geometría intrínseca? Mides ángulos, mides productos escalares y ves cuáles son los valores. Si esos valores son los que obtendría con un espacio plano, está en un espacio plano. Si son lo que obtendrías en un espacio curvo, bueno, estás en un espacio curvo. Puedes considerar esto el definición de un espacio curvo. No tienes que imaginar el espacio doblando dentro algún otro espacio. Solo que en nuestro espacio, medimos los productos escalares de los vectores básicos para que tengan un valor distinto de cero.
En respuesta a tu edición:
Específicamente y por definición, lo que significa que un espacio sea intrínsecamente curvo, como dicen todas estas respuestas, es que cuando tomas medidas geométricas, no salen como predice la geometría euclidiana.
Lo llamamos “curvatura” porque funciona exactamente igual que la curvatura. Los ángulos y distancias medidos son exactamente los que serían si el espacio fuera curvo. No asumimos un espacio de incrustación porque no es necesario para obtener las respuestas correctas. Entonces, ¿por qué agregar algo a la teoría que no se puede observar?
La curvatura intrínseca y extrínseca están conectadas en el sentido de que ambas hacen las mismas predicciones. La forma de hacer las matemáticas es un poco diferente. Si no existe en el espacio de incrustación, entonces no puede usar las herramientas de curvatura extrínseca para tomar medidas. No tiene más remedio que medir las cosas intrínsecamente.
A menos que puedas observar el espacio de incrustación, entonces no, no puedes deducir que existes incrustado en un espacio superior. Esa es una suposición que no se puede probar.
La curvatura extrínseca se refiere a incrustar un espacio en un mayor número de dimensiones. La curvatura intrínseca se refiere a los teoremas geométricos que se pueden probar dentro del espacio, sin referencia a nada externo. Por ejemplo, es posible que los ángulos de un triángulo no se sumen a $ 180 ^ circ $. Las dos definiciones de curvatura son distintas. Una esfera tiene una curvatura tanto intrínseca como extrínseca, pero se puede hacer un cilindro enrollando una hoja de papel plana, sin distorsión de formas geométricas como triángulos; es extrínsecamente curvado e intrínsecamente plano.
El espacio-tiempo (y el espacio) tiene una curvatura intrínseca, pero no una curvatura extrínseca porque no hay un espacio exterior para mirarlo. Esto significa que los mapas de grandes regiones no se pueden dibujar sin distorsionar el mapa. La forma más fácil de ver que esto es true es reconocer el hecho diario de que los relojes de los satélites GPS no mantienen la hora con los relojes idénticos en la Tierra. Dado que las leyes de la física en los satélites son las mismas que las leyes de la Tierra, la velocidad de la luz es la misma y, en consecuencia, debe haber una aparente diferencia en la longitud del metro, cuando se ve desde la Tierra. Como resultado, la circunferencia de la órbita del satélite no es igual a $ 2 pi R $ como sería en una geometría plana.
Aprendí que una esfera tiene una curvatura intrínseca, que es una criatura 2d en una esfera 2d que aún puede descubrir que una esfera es curva. Pero no entiendo lo que eso significa.
La forma en que se determina la curvatura de una esfera usando solo medidas en la superficie 2D de la esfera es encontrando cosas que violen las reglas de la geometría euclidiana plana normal. Por ejemplo:
En un espacio plano, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es $ 180 ^ circ $. Pero en una esfera puedes dibujar un triángulo que comienza en el ecuador, va hacia el norte hasta el Polo Norte, gira $ 90 ^ circ $ va hacia el sur hasta el ecuador, gira $ 90 ^ circ $, y va hacia el oeste hasta el punto de partida. Este triangulo tiene $ 270 ^ circ $ Ángulos interiores.
De manera similar, en el ecuador, dos líneas cercanas que apuntan hacia el norte son paralelas. Pero a medida que sigue cada línea hacia el norte, la distancia disminuye, el ángulo cambia y las líneas finalmente se cruzan.
Ninguno de estos ejemplos es posible para un espacio plano, por lo que incluso un 2D confinado a la esfera podría determinar que el espacio no era plano, sin necesidad de obtener ninguna evidencia a favor o en contra de un espacio plano de mayor dimensión.
Dado que nuestro espacio-tiempo es curvo, ¿está integrado en más de 4 dimensiones?
Simplemente no sabemos la respuesta a esto. No tenemos evidencia que apoye la idea ni evidencia que la descarte. Esté ahí o no, parece innecesario para describir la física.
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