Luego de de esta extensa búsqueda de información hemos podido resolver este contratiempo que tienen algunos los lectores. Te compartimos la solución y esperamos serte de gran apoyo.
Solución:
Como estoy seguro de que verá por las muchas respuestas que obtendrá, hay muchas nociones de “cuantificación”. Aquí hay otra perspectiva.
Recuerde la motivación principal de, digamos, la geometría algebraica: un espacio geométrico está determinado por su álgebra de funciones. Bueno, en realidad, esto no es del todo true — una variedad compleja, por ejemplo, tiende a tener muy pocas funciones completas (cualquier función completa acotada en C es constante, por lo que no hay funciones completas no constantes en un toro, digamos), por lo que en geometría algebraica, usan ” gavillas “, que son una forma de hablar de las funciones locales. Sin embargo, en geometría real (por ejemplo, topología o geometría diferencial), hay particiones de unidad, y es más o menos true que un espacio está determinado por su álgebra de funciones totales. Algunos ejemplos: dos variedades suaves son difeomórficas si y solo si las álgebras de funciones suaves de valor real en ellas son isomórficas. Dos espacios de Hausdorff localmente compactos son homeomorfos si y solo si sus álgebras de funciones continuas de valor real que desaparecen en el infinito (es decir, para cualquier épsilon hay un conjunto compacto de modo que la función es menor que épsilon fuera del conjunto compacto) son isomórficas.
(Desde el punto de vista de la física, debe tomarse como una definición de “espacio” que depende únicamente de su álgebra de funciones. Dichas funciones son los posibles “observables” o “medidas” — si no puede medir diferencia entre dos sistemas, no tiene derecho a tratarlos como diferentes).
De todos modos, puede ser útil refundir ideas geométricas en lenguaje algebraico. El álgebra es de alguna manera más “finito” o “computable” que la geometría.
Pero no todo álgebra surge como álgebra de funciones en un espacio geométrico. En particular, por definición, la multiplicación en el álgebra es “multiplicación puntual”, que es necesariamente conmutativa (las funciones se valoran en R o C, normalmente).
Entonces, desde este punto de vista, “matemáticas cuánticas” es cuando intentas tomar hechos geométricos, escritos algebraicamente, e interpretarlos en un álgebra no conmutativa. Por ejemplo, un espacio es Hausdorff localmente compacto si su álgebra de funciones continuas es álgebra conmutativa de estrellas c, y cualquier álgebra conmutativa de estrellas c es el álgebra de funciones continuas en algún espacio (de hecho, en su espectro). Entonces, un “espacio de Hausdorff cuántico localmente compacto” es a no-Álgebra de estrella c conmutativa. De manera similar, el “espacio algebraico cuántico” es un no-álgebra polinomial conmutativa.
De todos modos, he explicado “cuántica”, pero no “cuantificación”. Eso es porque hasta ahora solo hay geometría (“cinética”) y no física (“dinámica”).
Bueno, un álgebra no conmutativa tiene, junto con la suma y la multiplicación, una operación importante llamada “conmutador”, definida por $[a,b]= ab-ba $. La no conmutatividad dice precisamente que esta operación no es trivial. Escojamos una función distinguida H y consideremos la operación $[H,-]PS Este es necesariamente un operador diferencial en el álgebra, en el sentido de que es lineal y satisface la regla del producto de Leibniz. Si el álgebra fuera conmutativa, entonces los operadores diferenciales serían los mismos que los campos vectoriales en el espacio geométrico correspondiente y, por lo tanto, son los mismos que las ecuaciones diferenciales en el espacio. De hecho, eso sigue siendo true para álgebras no conmutativas: definimos la “evolución del tiempo” diciendo que para cualquier función (= elemento de álgebra) f, cambia en el tiempo con diferencial [H,f]. (El uso de esta regla en funciones de coordenadas define la ecuación diferencial geométrica; en terrenos no conmutativos, no existe un conjunto completo de funciones de coordenadas, ya que cualquier conjunto de funciones de coordenadas definiría un álgebra conmutativa).
Bien, puede suceder que para las funciones que le interesan, $[a,b]$ es muy pequeño. Para hacer esto matemáticamente preciso, digamos que (para la subálgebra de funciones que no tienen valores muy grandes) hay algún elemento de álgebra central $ hbar $, tal que $[a,b]$ siempre es divisible por $ hbar $. Sea $ A $ el álgebra y considere $ A / hbar A $. Si se supone que $ hbar $ es un “número muy pequeño”, entonces tomar este cociente solo debería descartar información detallada, pero algún tipo de geometría “clásica” aún debería sobrevivir (observe que desde $[a,b]$ es divisible por $ hbar $, va a $ 0 $ en el cociente, por lo que el cociente es conmutativo y corresponde a un espacio geométrico clásico). Podemos precisar esto exigiendo que haya una elevación del espacio vectorial $ (A / hbar A) a A $, y que $ A $ sea generado por la imagen de esta elevación junto con el elemento $ hbar $.
De todos modos, con toda esta configuración, el cociente $ A / hbar A $ en realidad tiene un poco más de estructura que simplemente ser un álgebra conmutativa. En particular, desde $[a,b]$ es divisible por $ hbar $, consideremos el elemento $ a, b = hbar ^ – 1 [a,b]PS (Supongamos que $ hbar $ no es un divisor de cero, por lo que este elemento está bien definido.) Probablemente, $ a, b $ no es pequeño, porque hemos dividido una cosa pequeña por una pequeña. cosa, de modo que tenga una imagen distinta de cero en el cociente.
Esto define en el cociente la estructura de un Álgebra de Poisson. En particular, puede comprobar que $ H, – $ es un operador diferencial para cualquier elemento (distinguido) $ H $, por lo que todavía define una “mecánica”, ahora en un espacio clásico.
Luego cuantificación es el proceso de invertir el cociente anterior. En particular, muchos de los espacios que nos interesan vienen con estructuras canónicas de Poisson. Por ejemplo, para cualquier variedad, el álgebra de funciones en su paquete cotangente tiene un paréntesis de posición. “Cuantizar una variedad” normalmente significa encontrar un álgebra no conmutativa de modo que algún cociente (como el anterior) dé el álgebra original de funciones en el paquete cotangente. La forma estándar de hacer esto es usar espacios de Hilbert y operadores acotados, como creo que describió otro respondedor.
No sé qué significa para un matemático cuantificar algo, pero puedo darte una descripción aproximada y algunos ejemplos específicos, desde el punto de vista de un físico.
Pelusa motivacional
Cuando se descubrió por primera vez la mecánica cuántica, la gente tendía a pensar en ella como una versión modificada de la mecánica clásica. [1]. En aquellos días, se conocían muy pocos sistemas cuánticos, por lo que la gente creaba sistemas cuánticos “cuantificando” los clásicos. Cuantizar un sistema clásico es llegar a un sistema cuántico que “se comporta de manera similar” en algún sentido. Por ejemplo, generalmente desea que haya una correspondencia intuitiva entre los observables de un sistema clásico y los observables de su cuantificación, y generalmente desea que los valores esperados de los observables cuantificados obedezcan las mismas ecuaciones de movimiento que sus contrapartes clásicas.
Debido a que el objetivo de la cuantificación es encontrar un sistema cuántico que sea “análogo” de alguna manera a un sistema clásico dado, no es un procedimiento matemáticamente bien definido y no existe una forma única de hacerlo. La forma en que intente cuantificar un sistema y cómo decida si ha tenido éxito o no, depende completamente de su motivación y objetivos.
Las cosas mas dificiles
He estado usando mucho la frase “sistema cuántico”. ¿Qué quiero decir realmente? En mi opinión, una de las mejores formas de averiguarlo es leer la Sección 16.5 de Probabilidad a través de la expectativa, de Peter Whittle.
En términos generales, un sistema cuántico tiene dos partes básicas:
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Un espacio de producto interno complejo $ H $, llamado espacio de Estados [2]. Cada rayo de $ H $ representa un posible “estado puro” del sistema. Un estado puro es algo análogo a una distribución de probabilidad, ya que le dice cómo asignar valores esperados a “observables”; en particular, le dice cómo asignar probabilidades a proposiciones.
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Una colección de mapas lineales autoadjuntos desde $ H $ a sí mismo, llamado observables. Un observable es algo análogo a una variable aleatoria; representa una propiedad del sistema que se puede medir y se determina que tiene un cierto valor. Los valores que puede tomar un observable están dados por sus valores propios (o, en el caso de dimensión infinita, su espectro). Digamos que $ A $ es un observable, $ a $ es un valor propio de $ A $ y $ v_1, ldots, v_n en H $ forman una base ortonormal para el espacio propio de $ a $. Si el estado del sistema es el rayo generado por el vector unitario $ psi en H $, la probabilidad de que el observable $ A $ tenga el valor $ a $ es $ langle v_1, psi rangle + ldots + langle v_n, psi rangle $, donde $ langle cdot, cdot rangle $ es el producto interno. A continuación, puede mostrar fácilmente que el valor esperado del $ A $ observable es $ langle psi A psi rangle $. Los observables cuyos únicos valores propios son $ 1 $ y $ 0 $ —es decir, operadores de proyección en $ H $— juegan un papel especial, porque corresponden a proposiciones lógicas sobre el sistema. El valor esperado de un operador de proyección es solo la probabilidad de la proposición.
Los sistemas cuánticos más interesantes tienen otra parte, que a menudo es muy importante:
- Un conjunto de mapas unitarios desde $ H $ a sí mismo, que podría llamarse transformaciones. Estos representan “automorfismos” del sistema. En física, muchos sistemas cuánticos tienen un grupo de transformaciones de un parámetro, a menudo denominado $ U (t) $, que representan la evolución en el tiempo; la idea es que si el estado del sistema es actualmente (el rayo generado por) $ psi $, el estado será $ U (t) psi $ después de que hayan pasado $ t $ unidades de tiempo. Los sistemas físicos a menudo también tienen otros grupos de transformación; por ejemplo, un sistema cuántico que se supone que tiene una “orientación espacial” generalmente tendrá un grupo de transformaciones que forman una representación de $ SO (3) $.
Algunos ejemplos
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Los paseos aleatorios cuánticos son, como su nombre indica, paseos aleatorios cuantificados. De manera más general, puede cuantificar la idea de una cadena de Markov. Para una excelente introducción, consulte el artículo “Caminatas cuánticas y sus aplicaciones algorítmicas”, de Andris Ambainis.
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En las secciones 2 y 3 de las notas “Una breve introducción a la geometría no conmutativa”, Peter Bongaarts describe versiones cuantificadas de espacios topológicos compactos y sistemas mecánicos clásicos.
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En la sección 4 del libro Geometría no conmutativa (precaución — PDF grande), Alain Connes presenta una versión cuantificada del cálculo. Aquí, los observables que representan variables complejas no son autoadjuntos porque las variables complejas pueden asumir complejos valores. Por tanto, se debe permitir que un observable que represente una variable compleja tenga valores propios complejos.
¡Espero que esto ayude!
[1] Hoy, en cambio, la mayoría de los físicos piensan en la mecánica clásica como una aproximación a la mecánica cuántica.
[2] Si $ H $ es de dimensión infinita, normalmente es un espacio de Hilbert separable. Incluso puede necesitar $ H $ para ser algo más elegante, como un espacio Hilbert manipulado.
Solo para reafirmar algunos hechos ya establecidos en otras respuestas, la cuantificación puede significar algunas cosas diferentes. En la cuantificación de la deformación, comenzamos con una teoría clásica dada por una variedad de Poisson. Entonces, (por definición) el álgebra de funciones forma un álgebra de Poisson. Una cuantificación de este álgebra es un álgebra no conmutativa con operadores $ X_f $ para $ f $ una función. También hay un parámetro formal $ hbar $. Esta álgebra satifica $$ X_f X_g = X_ fg + mathcal O ( hbar) . $$
La idea de la cuantificación es que el corchete de Poisson se convierte en un conmutador, o
$$
[X_f,X_g] = hbar X _ lbrace f, g rbrace + mathcal O ( hbar ^ 2) . $$
Por tanto, tenemos una versión no conmutativa de la mecánica clásica. La existencia de tal álgebra es un teorema de Kontsevich (el caso de una variedad simpléctica se resolvió mucho antes, pero me olvido de quién).
En matemáticas, hay muchas situaciones análogas interesantes en las que tienes una cosa no conmutativa que es, en cierto sentido, una deformación formal de una cosa conmutativa. Puede ver la otra dirección de lo anterior como un ejemplo del siguiente hecho general. Dada un álgebra filtrada cuya calificación asociada es conmutativa, existe una estructura de Poisson natural en la calificación asociada.
En física, sin embargo, no basta con deformar el álgebra de funciones; ahora tenemos que representar cosas en un espacio de Hilbert. Esto introduce una gran cantidad de otros problemas. En la cuantificación geométrica, esto se divide en dos pasos. Digamos que tenemos una variedad simpléctica cuya forma simpléctica es integral. Entonces podemos construir un haz de líneas con conexión cuya curvatura es esa forma simpléctica. El espacio de Hilbert es el espacio de $ L ^ 2 $ secciones de este paquete. Sin embargo, es demasiado grande, por lo que debe cortarlo (que es el paso 2). En varios casos, existen procedimientos bien definidos, pero no creo que esto se entienda bien en general. Por ejemplo, no estoy seguro de que sea posible representar cada función como un operador.
Probablemente valga la pena señalar que, desde el punto de vista de la física, la cuantificación es al revés. Es la teoría cuántica la fundamental, y la teoría clásica debería surgir como algún límite de la teoría cuántica. Allí hay algunas matemáticas interesantes, y también mucha filosofía.
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