Posterior a de una larga búsqueda de información hemos podido resolver este conflicto que tienen ciertos los lectores. Te dejamos la respuesta y nuestro objetivo es servirte de mucha apoyo.
Solución:
Su comprensión es correcta. En pocas palabras, una contradicción es una oración que es siempre false. Más precisamente,
Una declaración es una contradicción si es false en todas las interpretaciones.
En la lógica proposicional, las interpretaciones son funciones de valoración que asignan a las variables proposicionales un valor de verdad, por lo que una contradicción se reduce a tener ceros como la columna final en todas las filas (= valoraciones) de la tabla de verdad.
En la lógica de predicados, las interpretaciones son estructuras que consisten en un dominio del discurso y una función de interpretación que define objetos, funciones y relaciones en él, por lo que una contradicción es un enunciado que evalúa a false sin importar la elección de los objetos y la interpretación de los símbolos no lógicos.
Toma la expresión $ existe x (x <0) $, por ejemplo: esta oración es false en la estructura de los números naturales, pero true cuando lo evaluamos en los números enteros, o bajo alguna interpretación no estándar de los números naturales donde, por ejemplo, el símbolo $ <$ se toma en el sentido de “mayor que”. La declaración no es válida (= true en todas las estructuras), pero no es contradictorio (= false en todas las estructuras), ya sea: Si bien puede ser coincidente false en alguna estructura en particular / la situación en la que estamos interesados actualmente, es lógicamente posible para que se convierta true.
Por otro lado, $ existe x (x <0) tierra neg existe x (x <0) $ es true en ninguna de las tres estructuras anteriores; de hecho, no es true en cualquier estructura: no importa qué dominio de objetos tomemos y qué interpretación asignemos a los símbolos $ <$ y $ 0 $, la forma de la declaración $ A tierra neg A $ lo hace inherentemente imposible de nunca convertirse en true.
Para retomar su ejemplo, “El cielo es rojo” es solo una coincidencia false en el mundo real porque nuestro cielo terrenal resulta ser azul, pero es posible imaginar un universo en el que la atmósfera esté constituida de manera diferente y el cielo sea de hecho rojo: La oración false en el mundo real, pero no es contradictorio. En símbolos, la oración se puede formalizar como $ p $, y tendrá una tabla de verdad con un true y una columna falsa.
Por otro lado, $ x en S tierra x no en S $ es otra declaración de la forma $ A tierra neg A $, y por tanto una contradicción: es false en todo estructuras, y por lo tanto también en nuestra concepción del mundo real de conjuntos en la teoría de conjuntos estándar ZF. Su tabla de verdad tiene solo ceros, sin importar el valor que tomen las declaraciones de componentes.
El símbolo $ bot $ se utiliza para referirse a una contradicción. Y de hecho, cualquier enunciado contradictorio es lógicamente equivalente a (y puede transformarse en, usando reglas de inferencia) tanto $ A tierra neg A $ y $ bot $: Todas las declaraciones contradictorias tienen la misma tabla de verdad con solo ceros en la última columna.
Lo siguiente es menos concreto que la respuesta de Lemontree y los comentarios de amWhy, que creo que son más acertados. Sin embargo, creo que vale la pena decir lo siguiente, así que lo estoy poniendo aquí.
La versión ágil, como sospecha, es:
Una contradicción nunca es true en cualquier situación. Una declaración se llama false si falla en la situación particular (o clase de situaciones) que nos preocupan – pero un false Sin embargo, una declaración puede ser válida en una situación diferente (mientras que una contradicción no puede).
A continuación, describiré las dos formas principales de hacerlo más preciso.
Versión semántica
La visión “semántica” de la lógica es que un sistema lógico $ mathcal L $ se usa para describir objetos (o estructuras): básicamente, tal $ mathcal L $ consiste en una clase de frases$ Sent_ mathcal L $, una clase de estructuras aplicables$ Struc_ mathcal L $, y una relación $ modelos_ mathcal L $ entre estructuras y oraciones aplicables con $$ mathfrak A modelos_ mathcal L varphi $$ siendo interpretado como “la oración $ varphi $ es true en la estructura $ mathfrak A $. “
A contradicción en el sentido de $ mathcal L $, entonces, es una oración que no es true en cualquier estructura: a $ psi $ tal que para cada $ mathfrak A $ tenemos $ mathfrak A no modelos_ mathcal L psi $. Por el contrario, cuando decidimos centrarnos en una estructura en particular $ mathfrak S $, Nosotros decimos eso $ varphi $ es false si $ mathfrak S no modelos_ mathcal L varphi $.
Versión sintáctica
También podemos abstenernos de hablar de estructuras por completo. La visión “sintáctica” de la lógica es que un sistema lógico se utiliza para manipular oraciones (sin asignarles necesariamente significados particulares). Básicamente, tal $ mathcal L $ consiste en una clase de frases$ Sent_ mathcal L $ y una relación $ vdash_ mathcal L $ entre conjuntos de oraciones y oraciones individuales con $$ Gamma vdash_ mathcal L varphi $$ siendo interpretado como “la oración $ varphi $ es deducible del conjunto de oraciones $ Gamma $. “
Una contradicción en este marco es entonces una oración de la que podemos deducir cualquier cosa: $ varphi $ es un contradicción en el sentido de $ mathcal L $ si para todos $ psi $ tenemos $ varphi vdash_ mathcal L psi $. Por el contrario, cuando decimos que una oración $ varphi $ es false, lo que queremos decir es que tenemos en mente algún “conjunto de oraciones de fondo” $ Gamma $ y $ Gamma cup varphi $ nos permitiría deducir cualquier cosa (piense en esto $ Gamma $ como nuestro conjunto de axiomas).
Conectando los dos
Vale la pena señalar que toda lógica semántica induce una lógica sintáctica: dada una lógica semántica $ mathcal L = (Sent_ mathcal L, Struc_ mathcal L, modelos_ mathcal L) $ obtenemos una lógica sintáctica $ mathcal L ‘= (Enviado _ mathcal L’, vdash _ mathcal L ‘) $ definido como sigue:
-
$ Enviado _ mathcal L ‘ = Enviado_ mathcal L $, es decir, usamos las mismas oraciones para ambas lógicas.
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Establecimos $ Gamma vdash _ mathcal L ‘ varphi $ si siempre $ mathfrak A en Struc_ mathcal L $ con $ mathfrak A modelos_ mathcal L psi $ para cada $ psi in Gamma $, tenemos $ mathfrak A modelos_ mathcal L varphi $.
Tenga en cuenta que esto hace que las dos nociones de “contradicción” se alineen: si $ varphi $ falla en cada estructura, entonces vacuamente tenemos $ varphi vdash _ mathcal L ‘ psi $ para cada $ psi $.
También hay una forma de ir “sintaxis-a-semántica” que nuevamente hace que las dos nociones de “contradicción” se alineen, pero es un poco menos natural (básicamente interpretamos “estructura” como “un conjunto de oraciones que no deducen todo y es máxima con esa propiedad “).
Una advertencia
En realidad, lo anterior no es del todo exacto: hay sistemas lógicos en los que las oraciones de la forma “$ P cuña neg P $” hacer no le permite deducir todo (estas se llaman “lógicas paraconsistentes”; otro término relevante (jeje) es “lógicas de relevancia”). Esto conduce a una noción más matizada de “contradicción” y sus parientes. Pero ese es un tema más avanzado que no abordaría antes de comprender primero la imagen clásica.
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