Este grupo de expertos pasados varios días de trabajo y recopilar de datos, dimos con la respuesta, esperamos que te sea útil para tu trabajo.
Solución:
Una forma de pensar en la categorización es que es una generalización de la combinatoria enumerativa. Cuando un combinatorio ve una fórmula complicada que resulta ser positiva, piensa “¡Ajá! ¡Esto debe estar contando el tamaño de algún conjunto!” y cuando ven una igualdad de dos fórmulas positivas diferentes, piensan “¡ajá! ¡debe haber una biyección que explique esta igualdad!” Este es un caso especial de categorización, porque cuando descategorificas un conjunto solo obtienes un número y cuando descategorizas una biyección solo obtienes una igualdad. Como combinatorio, estoy seguro de que puede encontrar algunos ejemplos que ilustren muy bien cómo este tipo de categorización no está del todo bien definido. (“¿Qué cuentan exactamente los números en catalán?” Tiene muchas respuestas en lugar de una sola respuesta correcta).
Un tipo de categorización más sofisticado en combinatoria es “Especies combinatorias”, que clasifica series de potencias con coeficientes positivos.
Cuando las personas hablan de categorización, generalmente se refieren a algo menos combinatorio que los dos ejemplos anteriores porque casi siempre están pensando en una categorización diferente de los números naturales: espacios vectoriales. Al igual que los conjuntos, los espacios vectoriales tienen un único invariante que es un número entero no negativo. Entonces, cuando un combinatorio ve números positivos, piensa “¡ajá! El tamaño de un conjunto”, el categorizador típico (hay excepciones) piensa “¡ajá! ¡Dimensiones de espacios vectoriales!”
Además, la categorización a menudo se trata de cosas con más estructura. Por ejemplo, si se le da un anillo con una base tal que el producto en esa base tiene constantes de estructura positiva (por ejemplo, el álgebra de Hecke en la base de Kazhdan-Lusztig) debería pensar “este es el grupo de Grothendieck de alguna categoría tensorial y el la base es la base de los irreducibles “. De manera similar, los números enteros posiblemente negativos se pueden considerar como dimensiones de espacios vectoriales graduados.
La respuesta de Wikipedia es una respuesta que se usa comúnmente: reemplazar conjuntos con categorías, reemplazar funciones con functores y reemplazar identidades entre funciones con transformaciones naturales (o isomorfismos) entre functores. Uno espera obtener resultados más nuevos y más profundos a lo largo del camino.
En el caso del trabajo de Lauda y Khovanov, a menudo comienzan con un álgebra (por ejemplo $ bf C[x]$ con operadores $ d (x ^ n) = nx ^ n-1 $ y $ x cdot x ^ n = x ^ n + 1 $ sujeto a la relación $ d circ x = x circ d + 1 $) y reemplácelo con una categoría de módulos y functores proyectivos $ R $ definidos a continuación de tal manera que el grupo de Grothendieck asociado sea isomorfo al álgebra original.
La categorización de Khovanov del polinomio de Jones se puede pensar de una manera diferente aunque, desde su punto de vista, hay una idea motivadora central entre este párrafo y el anterior. La homología de Khovanov de un nudo construye a partir del conjunto de $ 2 ^ n $ Kauffman de suavizado del diagrama ($ n $ es el número de cruce) una teoría de homología cuya característica de Euler graduada es el polinomio de Jones. En este caso, podemos pensar en tomar una fórmula polinomial y reemplazarla con una fórmula que interrelacione ciertos grupos de homología.
La motivación original de Crane era definir una categoría de Hopf (lo que hizo) como una generalización de un álgebra de Hopf para usar esto para definir invariantes de variedades de $ 4 $ -dimensionales. La historia se complica un poco aquí, pero es más o menos así. Las álgebras de Frobenius dan invariantes de superficies a través de TQFT. Más precisamente, un TQFT en la categoría de cobordismo $ (1 + 1) $ (por ejemplo, tres círculos conectados por un par de pantalones) da un álgebra de Frobenius. Las álgebras de Hopf dan invariantes de 3 variedades. ¿Qué estructura algebraica da lugar a un invariante múltiple de $ 4 $ -dimensional, o un TQFT de $ 4 $ -dimensional? Crane demostró que una categoría Hopf era la estructura subyacente.
Por tanto, un objetivo desde el punto de vista de Crane sería construir ejemplos interesantes de categorías de Hopf. De manera similar, en mi pregunta a continuación, un objetivo es dar ejemplos interesantes de 2 categorías monoidales trenzadas con duales.
En el último sentido de categorización, partimos de una categoría en la que se mantienen ciertas igualdades. Por ejemplo, una categoría monoidal trenzada tiene un conjunto de axiomas que imitan las relaciones trenzadas. Luego reemplazamos esas igualdades por $ 2 $ -morfismos que son isomorfismos y que satisfacen ciertas condiciones de coherencia. La categoría de $ 2 $ resultante puede ser estructuralmente similar a otra entidad conocida. En este caso, $ 2 $ -functores (objetos a objetos, morfismos a morfismos, y $ 2 $ -morfismos a $ 2 $ -morfismos en los que se conservan las igualdades) pueden mostrarse para dar invariantes.
Las categorizaciones más importantes en términos de aplicaciones hasta la fecha son (en mi propia opinión) la homología de Khovanov, los invariantes de nudos de Oszvath-Szabo y la idea original de Crane. Los dos primeros elementos son importantes porque están dando resultados nuevos e interesantes.
Creo que un punto importante que se ha pasado por alto aquí es que no hay (actualmente) una respuesta precisa a esta pregunta.
Hay una respuesta imprecisa en la línea de la que dio Pete Clark, pero creo que puede haber un error tipográfico en esa respuesta. Y, por supuesto, hay casos específicos que arrojan luz (y proporcionan nuevas matemáticas) como ha señalado Scott.
“Como puede ver en este artículo, un aspecto de la categorización es la negación sistemática de la” decategorificación “, que es el proceso de tomar una categoría (por ejemplo, la categoría de conjuntos) y reemplazarla por la clase de clases de isomorfismo de sus objetos ( en ese caso, la clase de números cardinales) “.
La categorización NO es la negación sistemática de la descategorización. La descategorificación puede definirse de diversas formas como un proceso sistemático y la categorización puede entenderse como el proceso no sistemático (es decir, creativo) de deshacer la descategorificación.
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