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Solución:
Asumiendo que $ millones está conectado, hay un mapa único, hasta la homotopía $f: Mto X=K(pi,1)$ induciendo el isomorfismo $pi_1(M, m)a pi_1(X, x)=pi$. Después $f$ induce un homomorfismo de grupos de homología
$$ H(f): H_*(M)a H_*(X). $$
Este es el homomorfismo natural que aparece en la definición de Gromov.
Abordaré su segunda pregunta para mostrar que estas dos definiciones son equivalentes. Una dirección es automática ya que $K(pi, 1)$ es un espacio asférico.
Suponer $X$ y $K$ son complejos CW conectados y supongamos $K$ es asférico. Se supone que todos los espacios son puntiagudos y por “mapa” me referiré a “función continua puntiaguda”.
Para cualquier mapa $fdos puntos X to K$ Afirmo que admite una factorización (hasta la homotopía) a través de $K(pi_1(X), 1)$. Tenga en cuenta que $K(pi_1(X), 1)$ puede construirse de modo que haya un isomorfismo canónico entre su grupo fundamental y $pi_1(X)$por lo que usaré implícitamente esta identificación aunque estrictamente hablando no son igual.
Caja negra: si $X$ y $K$ son complejos CW conectados y $K$ es aesférico, entonces para cualquier homomorfismo de grupo $varphicolonpi_1(X)api_1(K)$ hay un mapa homotópicamente único $fdos puntos X to K$ tal que $pi_1(f) = varphi$.
(Este resultado generalmente se prueba usando la teoría de la obstrucción y omitiré una prueba porque es estándar).
Junto a la caja negra hay un mapa homotópicamente único. $idos puntos Xto K(pi_1(X), 1)$ induciendo “la identidad” en $pi_1$y un mapa homotópicamente único $hcolon K(pi_1(X),1) to K$ que induce”$pi_1(f)$“. Entonces la composición
$$ hcirc i colon X to K(pi_1(X), 1) to K $$
induce el mismo homomorfismo en $pi_1$ como $f$por lo tanto por unicidad $f sim h circ i$.
Ahora, para deducir el resultado de la afirmación, si hay un $nen mathbbN$ y $a en H_n(X)$ tal que $H_n(f)(a) neq 0in H_n(K)$entonces por homotopía-invariancia de homología $H_n(hcirc i)(a) neq 0$ asi que $H_n(i)(a)$ debe ser distinto de cero en $H_n(K(pi_1(X), 1))$ también, entonces tenemos la otra dirección de la equivalencia.
Recuerda algo, que tienes concesión de añadir una estimación objetiva si te ayudó.