Este grupo de especialistas pasados ciertos días de investigación y de juntar de datos, obtuvieron la solución, deseamos que te resulte útil en tu plan.
Solución:
No está siendo tonto y la razón de las diversas definiciones se debe en parte a que es un tema reciente y en parte a la falta de cobertura de la geometría en un entorno moderno.
Así que repasemos todas las definiciones y veamos qué comparten y qué no. El objetivo de nuestra definición al final del día debería ser definir un “espacio” cuya geometría podamos estudiar tanto de forma algebraica como geométrica.
Debido a esto, no existe una forma realmente excelente de definir un espacio geométrico. En realidad, definimos formalmente un conjunto de objetos y luego mostramos que podemos pensar en esto como un espacio geométrico con el que estamos familiarizados. Nuestro modelo puede ser el avión, por ejemplo. Ya que $ mathbb R $ tiene un orden lineal, podemos ver esto como una línea. Es un milagro de Descartes introducir la descripción ortogonal de $ mathbb R ^ 2 $ y asignar a cada punto del plano un elemento de $ mathbb R ^ 2 $ de manera sistemática. Es decir, toma $ (a, b) $ y enviarlo a la coordenada que conocemos. Por supuesto, podríamos hacer lo mismo con $ mathbb C $ que fue mostrado por Gauss.
Ahora, esto es genial excepto que no hay realmente true manera de elegir qué punto representa qué. Nuestras elecciones fueron completamente arbitrarias solo para que pudiéramos trabajar con geometría en un entorno algebraico. Esto se ve explícitamente en álgebra lineal donde podríamos, por ejemplo, reemplazar las líneas ortogonales de la $ x, y $-eje con las líneas $ y = 2x $ y el $ x $-eje. Esto da otra representación totalmente válida del plano donde hay una biyección entre “puntos” y elementos de $ mathbb R ^ 2 $. Muy bien, probablemente deberíamos evitar cualquier ambigüedad si solo queremos definir lo que es entonces un plano en este marco algebro-geométrico.
Ahora, aquí hay algo aún más confuso. Al principio solo estábamos mirando el avión. Pero que pasa $ 3 $-¿espacio? Hay toneladas de aviones en $ 3 $-espacio. Entonces, ¿qué diferencia tiene la geometría del plano? $ mathbb R ^ 2 times 0 $ tener (de la forma que decida describirlo) con $ mathbb R ^ 2 times 1 $? La geometría en estos dos planos es completamente la misma. Uno es simplemente una traducción del otro. Pero el primero lo consideraríamos como un subespacio del espacio vectorial $ mathbb R ^ 3 $ y el segundo no lo consideraríamos si quisiéramos trabajar en un entorno completamente algebraico. ¿Cómo podríamos trabajar algebraicamente en este último? Incluso la forma en que agregamos puntos sería incorrecta (ya que el tercer componente claramente no se queda en $ 1 $ si sumamos dos puntos por componentes).
Muy bien, aquí es donde entramos en las definiciones. Definición 1: Afín $ n $-espacio es $ k ^ n $ sin el origen. No; esto está mal. Afín $ n $-espacio es nuestra idea geométrica de lo arbitrario $ k ^ n $ debería verse como. Digamos que estamos mirando un plano antes de haberle asignado un sistema de coordenadas. $ mathbb R ^ 2 $ lo. Entonces no hay diferencia entre un avión y un avión que se encuentra encima del otro. Ambos son planos afines. Afín $ n $-el espacio debería generalizar esta idea al $ n $-configuración dimensional donde, si tuviéramos que ver un objeto geométrico y “lucía” como $ n $-espacio y podríamos asignarle los puntos de $ k ^ n $ en una correspondencia uno a uno, entonces lo llamaremos $ mathbb A _k ^ n $. De esta manera, tanto el plano como cualquier otro plano en $ 3 $-espacio representar $ mathbb A _k ^ n $ antes hemos dado nombre a sus puntos.
La gente dice que la topología y la geometría están relacionadas. En realidad, un conjunto $ A $ es el mismo conjunto con o sin topología. Definición 2 es donde la gente intenta asociar la naturaleza algebraica con el espacio afín, pero realmente no tiene sentido. Esto es tan “general” como la definición anterior, pero no es necesario imponer una topología en el espacio. Una razón típica por la que se usa esta definición en, digamos, el texto de Hartshorne es para alejar a la gente de la idea de que primero debemos asignar nombres a los puntos de un espacio geométrico antes de poder trabajar con ellos. ¿Por qué no trabajar con el conjunto de $ n $-tuplas de elementos de $ k $, y luego, si queremos aplicarlos a un espacio geométrico, ¿podemos hacerlo cuando queramos? Así que para evitar la familiaridad con $ k ^ n $ le daremos una nueva topología, la topología de Zariski, y entonces no pensará en él como el viejo objeto que está acostumbrado a hacer más confuso de lo necesario.
Finalmente, definición 3. Podría decirse que es la definición más rigurosa y en el objetivo de hacia dónde queremos ir pero casi ni siquiera es una definición. Esta es la forma más algebraica de describir el espacio geométrico, pero esto se debe solo a que tenemos una correspondencia uno a uno entre los ideales máximos y los puntos en $ k ^ n $. Por lo general, hay incluso más puntos si $ k $ no está algebraicamente cerrado, y estos corresponden a variedades en la topología de Zariski. Aún así, esto debe demostrarse y no es obvio. Es por eso que realmente no debería tomarse como la definición de espacio afín.
Pero las razones por las que queremos trabajar con el espacio afín en primer lugar son filosóficas. Cuando introducimos sistemas de coordenadas en un espacio geométrico, perdemos parte de la geometría. Es por eso que la mayoría de los libros de texto no hablan de esto; es filosofía, no matemáticas. Si quieres pensar en afín $ n $-espacio puede elegir cualquiera de las definiciones anteriores. Si planeas hacer álgebra conmutativa, elegiría la última definición. Pero en realidad, asegúrate de separar el espacio geométrico y el sistema de coordenadas y date cuenta de que las propiedades intrínsecas del espacio no se pierden cuando decidimos elegir una forma diferente de etiquetar las cosas.
Así que me parece que estas definiciones no pueden ser todas iguales, pero la búsqueda de espacios afines en Google o en libros conduce a cualquiera de las definiciones anteriores, dependiendo del nivel del texto.
Bien, no todos son iguales. Definen objetos en tres categorías diferentes, que son respectivamente
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La categoría de espacios afines de más de $ k $. Esto requiere un poco de elaboración. Una forma de definir un espacio vectorial es como un conjunto equipado con una operación $ n $ -ary para cada $ n $ -tuple $ (r_1, r_2, dots r_n) $ de elementos de $ k $, correspondientes a la combinación lineal operación $ (x_1, x_2, dots x_n) mapsto sum r_i x_i $, junto con varios axiomas que los relacionan. Un espacio afín es una versión ligeramente restringida de esto donde solo permite operaciones donde $ sum r_i = 1 $ (“combinaciones lineales afines”). En particular, no puede multiplicar por cero, por lo que no sabe dónde está su origen. En esta categoría, los endomorfismos $ k ^ n a k ^ n $ corresponden a mapas de la forma $ v mapsto Av + w $ donde $ A $ es una matriz y $ w $ es un vector.
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La categoría de lo que llamaré “variedades afines ingenuas” de más de $ k $. Esta es la categoría cuyos objetos son subconjuntos cerrados de Zariski de $ k ^ n $ para algunos $ n $ y cuyos morfismos son funciones polinómicas sobre $ k $. La gran diferencia entre esta opción y la # 1 es que se permiten funciones polinomiales de grado superior a $ 1 $. No quiero llamar a estas cosas variedades porque si $ k $ no está algebraicamente cerrado, esta es la categoría incorrecta para trabajar. En esta categoría, los endomorfismos $ k ^ n a k ^ n $ corresponden a $ n $ -tuplas de polinomios de $ n $ variables sobre $ k $.
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La categoría de variedades superiores a $ k $, que a su vez tiene varias definiciones según su nivel de sofisticación. La gran diferencia entre esta opción y la # 2 es que dada una variedad $ X $ sobre un campo $ k $, tiene sentido hablar de los puntos $ X (L) $ de esa variedad sobre cualquier extensión de campo $ L $ de $ k $ (y de hecho mucho más en general que esto, pero sigamos con las extensiones de campo para simplificar). Por ejemplo, si $ k = mathbb R $ entonces $ x ^ 2 + y ^ 2 = -1 $ define el conjunto vacío en la opción # 2 pero define una variedad interesante (con puntos interesantes sobre $ mathbb C $) en esta opción. En esta categoría, los endomorfismos $ k ^ n a k ^ n $ tienen el mismo aspecto que el anterior, pero al mirar las extensiones de campo puede obtener un objeto de endomorfismo más interesante que involucra polinomios sobre extensiones de campo de $ k $.
La relación entre estas categorías es que hay functores del # 1 al # 3 al # 2. La tendencia a dar a un objeto el mismo nombre en diferentes categorías donde aparece cuando están relacionados por un funtor es bastante común en matemáticas (por ejemplo, piense en cuántas categorías tiene un objeto llamado $ mathbb R $) y es bueno acostumbrarse más temprano que tarde.
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