Recuerda que en las ciencias informáticas un problema puede tener diferentes soluciones, de igual modo nosotros compartiremos la mejor y más óptimo.
Solución:
El álgebra cuántica es un término general que se usa para describir una serie de ideas matemáticas diferentes, todas las cuales están vinculadas a la comprensión original de que en la física cuántica, uno encuentra la no conmutatividad. Las áreas ahora abarcadas por el término “álgebra cuántica” no están necesariamente relacionadas directa u obviamente entre sí (y esto es aún más true para publicaciones etiquetadas como math.QA en arXiv, ya que las clasificaciones de arXiv están destinadas a marcar el trabajo como “de interés para las personas en el área X”, no como “este trabajo está en el área X”; la Clasificación de asignaturas de matemáticas se adapta mejor a esto, pero, naturalmente, es una clasificación mucho más fina y la mayoría de los elementos tienen varias etiquetas).
Los grupos cuánticos originales (más precisamente, cuantizaciones de deformación de álgebras envolventes y de coordenadas) son un ejemplo, pero su estudio se ha absorbido en gran medida en un área más amplia de geometría no conmutativa (generalmente con calificadores: algebraica, proyectiva, diferencial, …). También se encuentra la teoría del álgebra de Hopf y de ahí enfoques categóricos a la geometría no conmutativa (categorías monoidales simétricas y trenzadas, para empezar). Estos le llevan hacia TQFT, operados, invariantes de nudos y muchas otras cosas.
Hay muchos buenos lugares para leer sobre lo que diferentes personas piensan que abarca el área, uno de ellos es el resumen de Majid en el artículo “Grupos cuánticos” (p.272-275) en
Gowers, Timothy (ed.); Barrow-Green, junio (ed.); Líder, Imre (ed.), El compañero de las matemáticas de Princeton., Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press (ISBN 978-0-691-11880-2 / hbk; 978-1-400-83039-8 / ebook). xx, 1034 pág. (2008). ZBL1242.00016.
Yo diría que un resumen de una oración que cubra incluso el 80% más o menos del “álgebra cuántica” va a ser complicado, pero creo que lo más cercano que obtendrás es algo parecido a
El estudio de análogos no conmutativos y generalizaciones de álgebras conmutativas, especialmente las que surgen en la teoría de Lie.
Algunos podrían preferir una mención adicional del enlace original a la física matemática, pero mi opinión personal es que en algunas direcciones nos hemos alejado mucho de ser directamente aplicables a la física matemática (mis propias áreas de interés son en realidad puramente álgebra), así que han elegido no incluir esto.
Creo que una percepción realista moderna del término “álgebra cuántica“debe entenderse en su contexto histórico, es decir, los métodos algebraicos / geométricos, que se originan en el estudio del problema de cuantificación en sus diversas formas (primera y segunda cuantificación, QFT, etc.):
Hasta donde yo sé, el término álgebra cuántica se ha introducido en el artículo seminal de Dirac “Las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica”, Proc. Roy. Soc. A, v.109, p.642-653, 1925 (se puede encontrar una reimpresión en Sources of Quantum Mechanics, ed. BL van der Waerden, p.307). Fue poco después de que Heisenberg propusiera su idea -revolucionaria para la época- de que los observables cuánticos deberían corresponder a matrices hermitianas de orden -generalmente- infinito. Sin embargo, consideró la no conmutatividad de las matrices como un obstáculo para el desarrollo posterior de la idea. Heisenberg comunicó sus ideas a Fowler en Cambridge. Fowler, en ese momento, era el asesor de tesis de Dirac y así se involucró este último. Dirac propuso brevemente que la no conmutatividad de los observables de la mecánica cuántica debería tratarse como una característica fundamental de la nueva teoría que se desarrollará. También propuso que los observables cuánticos $ A $ y $ B $ deberían pertenecer a un álgebra no conmutativa, satisfaciendo la relación $$
[A,B]= i hbar A, B $$ como una “medida de desviación” de la conmutatividad. PS[.,.]$ representa el conmutador y $ .,. $ el corchete clásico de Poisson). Un relato detallado de la historia del desarrollo de la noción de álgebra cuántica junto con referencias, detalles históricos y técnicos, se puede encontrar en Reflexiones sobre cuántos, simetrías y supersimetrías de Varadarajan, cap.2.
Durante las siguientes décadas, el término álgebra cuántica comenzó a expandirse y a abarcar nuevas ideas y métodos que surgieron de los estudios de diferentes aspectos de los diversos problemas de cuantificación. El conmutador de Dirac fue reemplazado por el corchete de Moyal (coincidiendo con los términos de comunicación de Dirac módulo $ hbar ^ 2 $) y así es como la teoría de la deformación (ya desarrollada como una disciplina separada al nivel de las álgebras de Lie y de asociación) entró en escena. Ahora bien, las álgebras de la mecánica cuántica de los observables se consideraban deformaciones de los objetos clásicos correspondientes. Moshe Flato y sus compañeros de trabajo han estado entre los pioneros en esa dirección.
El auge de los grupos cuánticos y $ q $ -matemáticas expandió el término aún más. Ahora surgieron familias completamente nuevas de ejemplos y métodos, que introdujeron nuevas ideas y herramientas matemáticas en el tema, como álgebras de hopf, $ q $ -herramientas analíticas, métodos de representación teórica, $ q $ -deformaciones de álgebras de Weyl, etc.
El desarrollo continuo de las teorías del campo cuántico, junto con los diversos problemas técnicos y conceptuales introducidos por ellas, condujo a nuevas expansiones de la disciplina de las álgebras cuánticas. Ahora, se involucraron métodos y nociones teóricas algebraicas geométricas, homológicas, homotópicas y teóricas de categorías. El desarrollo de la geometría no conmutativa también abrió nuevas direcciones de estudio. Estoy lejos de ser un experto en estos temas para brindar más detalles, pero tengo la sensación de que casi todo dentro de las “álgebras cuánticas” ha estado de alguna manera conectado o al menos originado (incluso en algún sentido distante) del estudio de la cuantificación. problemas.
Entonces, para concluir, diría que, aunque el requisito de una definición de una oración del tema del álgebra cuántica puede parecer superficial, una aproximación aproximada (módulo de mi comprensión, por supuesto) podría ser:
El estudio de las teorías, métodos, técnicas, nociones y cuestiones algebraicas / geométricas que se originan en el estudio de los diversos aspectos del problema de cuantificación (interpretado de forma amplia).
PD: Inevitablemente, la no conmutatividad es un tema central en el marco del álgebra cuántica. En este sentido, se puede considerar que la descripción anterior abarca incluso herramientas y teorías abstractas modernas sobre los fundamentos y las propiedades de las operaciones y estructuras algebraicas. Es solo que me siento un poco escéptico en cuanto a si una “definición” moderna del campo del álgebra cuántica debería basarse en la noción de no conmutatividad en sí.
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