Solución:
Un “cero” de un polinomio es un valor de $ x $ en el que el polinomio, cuando se evalúa, es igual a cero.
La frase compuesta “de multiplicidad $ k $” (donde $ k $ es un número entero positivo) modifica “cero” (p. Ej., “Cero de multiplicidad 3”, “multiplicidad 3” y no solo “multiplicidad” modifica “cero”) ; lo que significa es que el cero es en realidad una solución “varias veces”.
Es un teorema (llamado Teorema del factor) que si $ a $ es un cero del polinomio $ p (x) $, entonces puede escribir el polinomio $ p (x) $ como $ p (x) = (xa) q (x) $; es decir, un producto. Cualquier cero de $ q $ también es cero de $ p (x) $.
Decimos que $ a $ es un cero “de multiplicidad $ k $” de $ p (x) $ si puedes escribir $ p (x) $ como $ p (x) = (xa) ^ kq (x) $, pero no como $ p (x) = (xa) ^ {k + 1} q (x) $.
Por ejemplo, tome $ p (x) = x ^ 2-2x + 1 $. Entonces $ x = 1 $ es cero de $ p (x) $; de hecho, como $ p (x) = (x-1) ^ 2 $, $ 1 $ es un cero “de multiplicidad $ 2 $”.
De manera similar, $ p (x) = x ^ 4 – 9x ^ 3 + 30x ^ 2 – 44x + 24 $ tiene $ x = 3 $ y $ x = 2 $ como ceros (conéctelos, obtendrá cero: $ p ( 3) = 81 – 243 + 270 – 132 + 24 = 0 $, $ p (2) = 16 – 72 + 120 – 88 + 24 = 0 $). De hecho, $ p (x) = (x-2) ^ 3 (x-3) $, entonces $ 3 $ es un cero “una vez” y $ 2 $ es un cero “tres veces”, entonces $ 2 $ es un cero ” de multiplicidad tres “y 3 es un cero” de multiplicidad uno “.
Recuerde que un número $ r $ es un raíz o cero de un polinomio $ P (x) $ si $ P (r) = 0 $: es decir, cuando se conecta $ r $, se obtiene cero.
Cada raíz $ r $ de $ P (x) $ ocurre con un cierto multiplicidad que es el número de veces que podemos factorizar $ (xr) $ de $ P (x) $. En tu ejemplo
$ f (x) = (x-3) ^ 4 (x-5) (x-8) ^ 2 $
el polinomio se escribe convenientemente como un producto de distintos factores lineales elevados a ciertas potencias. Estas potencias son entonces la multiplicidad de las raíces del polinomio, entonces $ 3 $ ocurre con multiplicidad $ 4 $, $ 5 $ ocurre con multiplicidad $ 1 $ y $ 8 $ ocurre con multiplicidad $ 2 $.
Basado en varios años de enseñar cálculo a estudiantes de primer año, puedo decir que este concepto es una de las cosas que los maestros de nivel universitario piensan que está cubierto en matemáticas de precálculo, pero parece no serlo, al menos no de una manera que hace que los estudiantes de precálculo recuerden / entiendan. para cuando lleguen al cálculo universitario.
Buscando una explicación decente y elemental de este material en la web, encontré esta página. (Por el contrario, wikipedia hace un trabajo bastante pobre …)
Un polinomio $ rm : f (x) : $ tiene una raíz (“cero”) $ rm : r : $ de multiplicidad $ rm : n : $ if $ rm f (x ) = (xr) ^ n g (x) $ donde $ rm : g (r) ne 0 :. : $ Recordar por el Teorema del factor que $ rm : f (r) = 0 iff xr $ divide $ rm f (x) :. : $ La multiplicidad simplemente cuenta cuántos factores de $ rm xr $ ocurren (el “grado” u “orden” de la raíz $ rm : r : $).
Su ejemplo $ rm (x-3) ^ 4 🙁 x-5) 🙁 x-8) ^ 2 $ tiene $ 4 + 1 + 2 = 7 $ raíces (ceros) contando multiplicidades ya que las raíces $ 3 :, : 5 :, : 8 $ tienen multiplicidad $ rm 4 :, : 1 :, : 2 $ respectivamente. Tenga en cuenta que si vemos las raíces como un conjunto múltiple $ rm {3,3,3,3,5,8,8 } $, entonces la multiplicidad de una raíz es la simplicidad de su multiplicidad en este conjunto múltiple, es decir, el número de las veces que ocurre.
Abhyankar, un maestro de geometría algebraica, comenta en su encantadora exposición [1] ese
gran parte de la geometría algebraica finalmente se reduce al siguiente Principio Fundamental (simple o complementado).
Principio fundamental. $ $ El número de raíces (o factores irreducibles) de un polinomio $ rm : f (x) : $ en una variable, contadas con sus multiplicidades (respectivamente grados y multiplicidades), es igual al grado de $ rm : f (x) :. : $
Ciertamente es la clave algebraica para los varios “contar correctamente”.
Recomiendo encarecidamente leer el artículo de Abhyankar. Explica de manera simple y hermosa mucho más que cómo contar algebraicamente correctamente. De hecho, ganó varios premios prestigiosos a la excelencia expositiva (AMS Lester R. Ford, MAA Chauvenet Prize).
[1] Abhyankar. Divagaciones históricas en geometría algebraica y álgebra relacionada
Amer. Matemáticas. Mensual 83 (1976), 409-448