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Solución:
De hecho, el número de funciones de $Bbb N$ a $Bbb R$ es el mismo que el número de reales. Recuerde que el número de funciones $A to B$ es $|B|^A$ porque tiene $|B|$ opciones de dónde enviar cada elemento de $A$, así que haga esa elección $|A |$ veces. Dado que $|Bbb R|=2^aleph_0$ el número de funciones de $Bbb N$ a $Bbb R$ es $(2^aleph_o)^aleph_0=2^ aleph_ocdot aleph_0=2^aleph_o$. El número de funciones de $Bbb R$ a $Bbb N$ es $aleph_0^(2^aleph_0)$ que es equivalente al conjunto de potencias de $Bbb R$
Esta respuesta es elemental: no requiere ninguna aritmética cardinal más allá de Cantor-Schröder-Bernstein.
Usaremos $mathcalP(mathbbN)$ en lugar de $mathbbR$ cuando sea conveniente, ya que es más simple. Tomemos $mathbbN = 1,2,dots$.
El conjunto de funciones $mathbbN to mathcalP(mathbbN)$ es equinúmero con $mathcalP(mathbbN)$. De hecho, dado un subconjunto $A$ de los naturales, podemos crear una función única $mathbbN to mathcalP(mathbbN)$ que envía $n mapsto A$; por el contrario, dada una función $mathbbN to mathcalP(mathbbN)$ podemos crear un subconjunto único de los naturales tomando los elementos de $f(1)$, $f( 2)$, $f(3)$, etc., y distinguiéndolos por potencias de números primos: $$2^a, 3^b, 5^c, dots : a in f(1), b in f(2), c in f(3), dots $$ Entonces, según Cantor-Schröder-Bernstein, hay una biyección entre $mathbbN to mathcalP( mathbbN)$ y $mathcalP(mathbbN)$.
Sin embargo, $mathbbR to mathbbN$ es al menos tan grande como $mathcalP(mathbbR)$. La inyección es fácil: dado un conjunto $A$ de reales, defina una función $mathbbR to mathbbN$ por $r mapsto 1$ si $r in A$, y $r mapas a 2 $ de lo contrario.
De hecho, $mathbbR to mathbbN$ es exactamente tan grande como $mathcalP(mathbbR)$; puedes probar esto usando el mismo truco de “potencias de los números primos” que el anterior (usando $mathcalP(mathbbN)$ en lugar de $mathbbR$), pero va un nivel más profundo. Ejercicio para ti.
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