Nuestro equipo de trabajo ha estado por horas buscando soluciones a tu interrogante, te ofrecemos la respuestas y nuestro objetivo es servirte de gran apoyo.
Solución:
Claro, el teorema de Pitágoras es un elemento de la teoría de la geometría euclidiana y puede derivarse de los axiomas modernos de la geometría euclidiana.
Un conjunto completo de axiomas de la geometría euclidiana contiene la información sobre la similitud y el área que son suficientes para probar el teorema de Pitágoras “sintéticamente”, es decir, directamente a partir de los axiomas. ¡Sin embargo, las pruebas algebraicas son un poco diferentes!
Resulta que después de definir los números reales y el álgebra básica, puedes crear un modelo de geometría euclidiana en $Bbb Rtimes Bbb R$ que obedece a todos los axiomas euclidianos. Las operaciones algebraicas en una prueba algebraica reflejan los axiomas sintéticos que se usan, pero las conexiones directas no son obvias. Todavía está utilizando indirectamente los axiomas sintéticos, pero todos son suposiciones ocultas sobre $Bbb RtimesBbb R$ y la geometría de coordenadas.
Su pregunta es mucho más complicada de lo que parece.
Primero algo de filosofía:
¿Todas las pruebas son equivalentes?
¿Qué quiere decir con equivalente en relación con las pruebas? (no solo en relación con esta prueba sino con cualquier prueba)
Geometría euclidiana:
Euclides carecía un poco de sus Postulados y Nociones Comunes. Los axiomas de su geometría solo se encontraron a fines del siglo XIX, principios del siglo XX, por lo que es razonablemente reciente.
ver por ejemplo: (hay muchos mas e incluso dentro de estos ejemplos hay diferentes opciones)
- Axiomas de Hilbert http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_axioms
- Axiomas de Tarski http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski_axioms
PD: asegúrese de usar los axiomas para la geometría euclidiana, debe agregar el axioma paralelo o un axioma que (junto con los otros axiomas) pueda probarlo.
Las teorías (y la geometría euclidiana es una teoría) se definen por sus teoremas (todo lo que se sigue de los axiomas y reglas de inferencia) no por sus axiomas, por lo que muchas axiomatizaciones diferentes pueden dar una misma Teoría. Pero por ser la misma teoría tienen que demostrar los mismos teoremas.
Luego el Teorema de Pitágoras.
Sí, puede probar el Teorema de Pitágoras en cualquier axiomatización, en todo caso, si no pudiera probarlo, no sería geometría euclidiana.
¿Todos se remontan a los mismos axiomas?
No, hay diferentes axiomatizaciones posibles, por lo que ni siquiera pueden rastrear todo en el mismo conjunto.
Espero que todo ayude
Si te saltaste la geometría plana de décimo grado porque te encantaba el álgebra, tu camino te llevaría directamente a los números complejos. No sabes nada de geometría pero te gusta la idea de representar números complejos
z = x + yi
como puntos/vectores en un ‘Plano’ de Número Real de dos coordenadas. Por supuesto, usted pone naturalmente los números imaginarios puros (eje y) ‘ortogonales’ a los números reales puros (eje x).
A medida que juega con su nuevo juguete, comienza a reconocer las cosas de tipo geométrico que suceden. Tú decides que pase lo que pase, los ‘vectores’
1 + 0i, 0 + 1i, -1 + 0i, 0 – 1i
todos deben estar a una distancia de 1 de 0, y desea crear un valor absoluto (longitud) para cualquier número complejo. También desea que la longitud sea una extensión de la función de valor absoluto definida para números reales (puros).
Si $z = 5i$ y $w = 3$, $zw = 15i$, entonces piensa que, tentativamente, quiere mantener
$lvert zwrvert$ = $lvert zrvert lvert wrvert$
Un día, mientras juegas, empiezas a examinar los conjugados de números complejos. ¡Entonces te golpea! La distancia recorrida al dar x pasos horizontalmente y luego y pasos verticalmente es invariante bajo el signo de y.
Entonces tu axioma ‘asesino’ es:
El valor absoluto de un número complejo es igual al valor absoluto de su conjugado:
$lvertbar zrvert = lvert zrvert$
Pero ahora eso es todo lo que necesitas, ya que
$z bar z = x^2 + y^2 = lvert z bar zrvert = lvert zrvert lvertbar zrvert = lvert zrvert ^2$
Defines el valor absoluto de z como la raíz cuadrada $x^2 + y^2$, y te preguntas a dónde te llevará eso.
Respuesta: El plano bidimensional euclidiano.
Ejercicio: Muestre que con esta definición, el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.
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