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Solución:
El propósito de la teoría de conjuntos no es la aplicación práctica de la misma manera que, por ejemplo, el análisis de Fourier tiene aplicaciones prácticas. Para la mayoría de los matemáticos (es decir, aquellos que no son teóricos de conjuntos), el valor de la teoría de conjuntos no está en ningún teorema en particular sino en el idioma nos da. Hoy en día, incluso los científicos informáticos describen su concepto básico, las máquinas de Turing, en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Esto es útil porque cuando especifica un conjunto de objetos, teóricamente no hay duda de lo que está hablando y puede responder sin ambigüedades cualquier pregunta que pueda tener al respecto. Sin definiciones precisas es muy difícil hacer matemáticas serias.
Supongo que otro punto importante aquí es que es difícil apreciar el papel de la teoría de conjuntos en las matemáticas sin conocer algo de la historia detrás de la crisis de los fundamentos de las matemáticas, pero no conozco ninguna referencia particularmente buena.
Su segunda pregunta es más específica, por lo que le daré una respuesta más específica: para comprender a fondo las matemáticas detrás de, digamos, la física moderna requiere (entre muchas otras cosas) que comprenda las propiedades de los conjuntos infinitos porque topología se ha convertido en una parte importante de estas matemáticas, y la comprensión de la topología general depende en gran medida de la comprensión de las propiedades de los conjuntos infinitos. Si esto significa que la teoría de conjuntos tiene alguna relación con la “realidad” depende de cuánta fe tenga en los espacios topológicos como un buen modelo para el mundo real.
Como ejemplo específico, las matemáticas detrás de la relatividad general se denominan geometría diferencial. Creo que es justo decir que el desarrollo de la relatividad general hubiera sido imposible sin el lenguaje matemático para expresarlo. La geometría diferencial tiene lugar en tipos especiales de variedades, que son tipos especiales de espacios topológicos. Entonces, para comprender la geometría diferencial, debe comprender al menos alguna topología. ¡Y no creo que necesite justificar la utilidad de la relatividad general!
Hay muchos usos de los conjuntos infinitos y sus propiedades. Déjame darte uno específico de informática. Una tarea importante en informática es probar o verificar que los programas hacen lo que se supone que deben hacer. Cuando tales programas implican bucles y llamadas recursivas (autorreferencia), necesitamos métodos para mostrar que los bucles y las llamadas recursivas terminan, es decir, que el programa no se ejecutará para siempre. El principio de inducción usual para números naturales es suficiente para mostrar que un ciclo simple termina, pero necesitamos inducción doble para ciclos dobles, inducción triple para ciclos triples, etc. Todo el asunto puede volverse muy complicado cuando el programa es más que una simple combinación. de bucles La teoría de conjuntos ayuda a resolverlo todo con el principio de inducción transfinita y el cálculo de números ordinales (infinitos). La inducción transfinita cubre todas las formas posibles en las que uno podría mostrar que un programa termina, mientras que los números ordinales se usan para expresar qué tan compleja es la prueba de terminación (cuanto mayor es el número, más complicado es ver que el programa realmente terminará). ).
La teoría de conjuntos es un lenguaje extremadamente conveniente para poder definir y manipular rigurosamente varios “infinitos completos”, no solo conjuntos infinitos como los números naturales o los números reales, sino infinitos completos mucho “más grandes”, como las compactaciones de Stone-Cech, los hiperreales, o ultrafiltros, que normalmente necesitan algunas herramientas teóricas de conjuntos bastante poderosas, como el lema de Zorn, para construir. A menudo, uno puede arreglárselas en aplicaciones que usan varios sustitutos “incompletos” y / o “finitarios” para estos objetos, que requieren menos maquinaria teórica de conjuntos para configurar (por ejemplo, uno puede evitar en gran medida el uso del axioma de elección), pero las matemáticas pueden volverse mucho más complicadas al hacerlo.
Una vez que uno ha establecido una cantidad no trivial de matemáticas en el ámbito de los espacios infinitos o continuos, a menudo se pueden derivar consecuencias finitas (al menos a un nivel cualitativo) mediante el uso de herramientas adicionales como argumentos de compacidad o análisis no estándar, que nuevamente son discutido más fácilmente si uno está trabajando dentro de un marco teórico establecido. Un buen ejemplo de esto es el principio de correspondencia de Furstenberg que permite derivar afirmaciones combinatorias sobre conjuntos finitos de enteros usando el lenguaje infinitario de la teoría ergódica, que puede requerir una cantidad no trivial de teoría de conjuntos para trabajar (por ejemplo, cuando se usan herramientas como como desintegración de medidas con respecto a un álgebra sigma). Personalmente, me gusta usar la técnica de los ultrafiltros (o análisis no estándar) como un puente entre el mundo finitario de las matemáticas “prácticas” y el mundo infinito descrito por la teoría de conjuntos, como se analiza, por ejemplo, en esta publicación mía.
(Sin embargo, una advertencia importante: si uno usa directamente herramientas como ultrafiltros o compacidad para transferir resultados infinitos a resultados finitos, a menudo termina con conclusiones que son de naturaleza cualitativa, o solo cuantitativas con límites explícitos extremadamente pobres. A menudo, el esfuerzo adicional es luego se requieren para obtener resultados finitos cuantitativos con límites que son lo suficientemente efectivos para ser útiles en aplicaciones del mundo real. Sin embargo, los resultados infinitos pueden mostrar el camino a seguir y servir como una excelente fuente de analogía e intuición para luego desarrollar un finito cuantitativo satisfactorio. teoría.)
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