Nuestro team de especialistas pasados varios días de trabajo y de juntar de datos, dimos con la solución, nuestro deseo es que resulte útil para ti para tu trabajo.
Solución:
No digo que esta sea una forma de considerar números “pares” e “impares”, pero creo que es genial que de alguna manera se vea como una generalización de esta noción.
No tiene sentido mirar los dígitos de un número irracional para determinar su “paridad”, por lo tanto, sigamos con los números racionales.
Cuando estábamos viendo números enteros, dijimos que un número entero era incluso cuando era divisible por $2$ y impar cuando no lo es. En lugar de usar palabras, podríamos dar mucha mejor información, que es definir un mapa $$ beginalign nu_2 : mathbb N & to mathbb N cup 0 \ n=2^ km & mapsto k endalign $$ donde en el segundo, $m$ es impar. El mapa $nu$ luego mide cómo incluso el entero $n$ es, en el sentido de que cuando hay más potencias de 2 que dividen a $n$, se considera “más divisible por dos”.
Este concepto se puede generalizar a los números racionales: escribir $x = a/b$ con $a$ y $b neq 0$ enteros. Escribe $a = 2^k_1 a’$ y $b=2^k_2 b’$, de modo que $x = 2^k_1 – k_2 (a’/b’)$ y ahora ambos $a ‘$ y $b’$ son impares. Ahora defina $nu$ nuevamente de manera similar: $$ beginalign nu_2 : mathbb Q & to mathbb Z \ x = frac2^k_1a’2^ k_2b’ & mapsto k_1 – k_2. endalign $$ Cuando $x$ es un número entero, recuperamos el mapa que teníamos antes, por lo que esto puede considerarse como un extensión de este mapa a los números racionales.
No sé si has hecho algo de álgebra abstracta, pero voy a trabajar un poco más para que los lectores que puedan estar interesados encuentren buena información aquí.
Si reemplazamos $nu_2$ por $nu_p$, donde $p$ es un número primo, todo lo que hicimos funciona bien y obtenemos un mapa de $mathbb Q$ a $mathbb Z$ que indica cuánto ¿Puede un racional ser divisible por $p$ (al permitir la “divisibilidad negativa” en algún sentido, porque también mide cuántas veces $p$ divide el denominador)? Nos estamos acercando al concepto de valoración discreta, que se define como lo siguiente: dado un campo $K$, una valoración discreta $nu$ es una función de $K^times$, el grupo de unidades, a $mathbb Z$, que satisface la siguientes propiedades: $$ beginalign nu(ab) & = nu(a) + nu(b) \ nu(a+b) & ge min nu(a), nu(b) endalign $$ y también debe ser sobreyectiva. Esta función tiene muchas propiedades algebraicas interesantes. Recordando información que teníamos antes como “el conjunto de todos los enteros pares forman un anillo”, y simplemente considerando este mapa y sus propiedades, podemos mostrar que $$ x in K^times , cup 0 $$ es un subanillo de $K$ que contiene la identidad de $K$. Para algunos ejemplos de cómo esto es relevante, considere esto: si tomamos el mapa $nu_2$ que teníamos antes (sobre $mathbb Q$), probar este hecho significa que el conjunto de todos los números racionales con denominador impar forman un subanillo de $mathbb Q$ (al igual que el conjunto de todos los números racionales con denominadores coprimos con $p$). Las valoraciones se estudian extensamente, y probablemente puedas buscarlas en Wikipedia o pedir una referencia si estás más interesado en esto.
¡Espero que ayude!
Supongamos que nos gustaría definir los números reales pares/impares de forma similar a los números enteros. ¿Qué podíamos hacer?
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Podríamos decir que los números pares son todos múltiplos de 2 por un número real, pero entonces todo número real sería par. Definir tal noción no parece útil.
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Podríamos trabajar solo con números reales que tienen expansiones decimales finitas. Y para tales números, podríamos decir que es par/impar según la paridad del último dígito. La primera desventaja de esta definición es que solo funciona para algunos números. Pero, quizás lo más importante, no tiene las propiedades habituales de la suma, a saber:
$0.4+0.6=1$ par+par puede ser impar;
$0.3+0.7=1$ impar+impar puede ser impar;
$0.04+0.1=0.14$ par+impar puede ser par.
Así que esta definición tampoco tendría demasiado sentido.
No, cualquier anillo donde $2$ tiene un inverso $rm:u:$ no puede detectar la paridad ya que $rm:2:u = 1 Rightarrow 1$ es par por lo tanto $rm x = 1 cdot x $ produce que cada elemento $rm:x:$ es par. Sin embargo, hay muchos anillos que tienen una noción de paridad compatible con la paridad entera. Por ejemplo, el subanillo de racionales con denominador impar tiene paridad obtenida al definir la paridad de $rm:m/(2n+1):$ como la paridad de $rm:m:.:$ Además, muchos anillos de enteros algebraicos tienen una noción natural de paridad, por ejemplo, los enteros gaussianos $rm:m + n it i, m,n in mathbb Z $ tienen paridad definiendo $: i:$ ser impar. Para una discusión más detallada, vea mi publicación aquí, y esta publicación donde la paridad en $rm:mathbb Z[sqrt5]:$ implica que el entero $rm:(9+4sqrt5)^n + (9-4sqrt5)^n:$ es par.
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