Solución:
Qué significa “reducir una matriz”
Un problema aquí es qué se entiende por “reducir una matriz”. El único propósito que puedo ver para reducir una matriz es decidir si la matriz tiene alguna propiedad específica. Cualquier propiedad que le interese debe permanecer sin cambios en las operaciones que realice o no habrá tenido éxito en su propósito.
Si investiga de cerca el libro de Serge Lang, encontrará que tenía un propósito específico para reducir la matriz (para encontrar el rango, que se analiza a continuación) que le permite usar operaciones de columna para lograr su objetivo.
Es importante tener en cuenta que para la mayoría de las personas, la frase “reducir una matriz” se refiere específicamente a encontrar la forma escalonada de fila reducida (también conocida como RREF). Como su nombre lo indica, RREF se define utilizando el filas de la matriz: 1. La entrada distinta de cero más a la izquierda en cualquier fila es un 1 (llamado “1 inicial”). 2. Los 1 iniciales en las filas inferiores están más a la derecha que los 1 iniciales en las filas superiores. 3. Otras entradas en una columna con un 1 a la izquierda son cero. 4. Todas las filas que constan completamente de ceros están en la parte inferior de la matriz. Dado que está definiendo esta matriz en términos de filas, debe realizar operaciones de fila para lograrlo. De hecho, si tu hacer use operaciones de fila, luego dada una matriz de inicio particular (que puede o no ser cuadrada, por cierto), hay precisamente un RREF al que se reducirá. Si realiza operaciones de columna, no llegará a esta misma matriz.
Relaciones con soluciones de ecuaciones
El punto que otros han hecho sobre la búsqueda de soluciones es válido. Cada matriz se puede utilizar para representar los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, independientemente de si lo desea o no. Muchas de las propiedades importantes de las matrices están fuertemente relacionadas con este sistema de ecuaciones lineales, por lo que es una buena idea tener métodos que preserven estas propiedades.
Por ejemplo, el conjunto de soluciones para $ A mathbf {x} = mathbf {0} $ es el mismo que el conjunto de soluciones para las ecuaciones lineales (homogéneas), y las filas distintas de cero del RREF forman una base para el espacio perpendicular a este espacio de soluciones. Ninguna de estas propiedades se conserva mediante operaciones de columna, pero sí mediante operaciones de fila.
Lo más importante, solo para reiterar: la solución a sus ecuaciones lineales homogéneas es definitivamente no preservado por operaciones de columna, y esta es una consideración importante independientemente de si desea que su matriz represente ecuaciones lineales o no.
Tenga en cuenta que hay cosas que las operaciones de columna conservan, como el rango de la transformación lineal definida por su matriz. Sin embargo, una combinación de operaciones de fila y columna no conservará esto, ni la mayoría de las propiedades que le interesan.
La inversa de una matriz cuadrada
Una propiedad que una mezcla de operaciones de fila y columna lo hace preservar es la invertibilidad. Puedes ver esto a partir de la idea de matrices elementales.
Hacer operaciones de fila elementales corresponde a multiplicar a la izquierda por una matriz elemental. Por ejemplo, la operación de fila de “new R2 = R2 – 3R1” se produce en una matriz de 3 por n cuando multiplica a la izquierda por $ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \ -3 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix} $. Las operaciones de columna, por otro lado, se producen cuando se multiplica por una matriz en el lado derecho. La operación de columna de “nuevo C2 = C2 – 3C1” se produce en una matriz m por 3 cuando se multiplica a la derecha por $ begin {pmatrix} 1 & -3 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 y 1 end {pmatrix} $.
El proceso de encontrar la inversa de una matriz cuadrada aumentando una identidad y haciendo operaciones de fila coincidentes en ambos funciona debido a estas matrices elementales. Si realiza operaciones de fila en $ A $ para obtener $ I $ y las matrices elementales correspondientes a estas operaciones son $ E_1 $, …, $ E_k $, entonces tenemos $ E_k … E_1 A = I $ y así la inversa de $ A $ debe ser $ E_k … E_1 $. ¡Pero esto es igual a $ E_k … E_1 I $, que es lo que obtienes cuando haces todas esas operaciones de fila en la identidad!
Esto funcionaría perfectamente si hiciera operaciones de columna, sin embargo, una mezcla de las dos es un poco más difícil de entender. Suponga que realizó operaciones de fila con matrices $ E_1 $, …, $ E_k $ y operaciones de columna con matrices $ F_1 $, …, $ F_h $ y, como resultado, produjo la identidad. Entonces $$ begin {align} E_k dots E_1 A F_1 dots F_h & = I \ A & = (E_1) ^ {- 1} dots (E_k) ^ {- 1} I (F_h) ^ {- 1} dots (F_1) ^ {- 1} \ A ^ {- 1} & = F_1 dots F_h I E_k dots E_1 end {align} $$
Este es no el resultado de hacer las operaciones de columna coincidentes y las operaciones de fila en $ I $ porque las matrices están en el lado equivocado.
Entonces, si puede reducir una matriz en fila o columna a la identidad, entonces esto demuestra que la matriz es invertible, pero es complicado saber cuál es realmente la inversa, a menos que haga solo operaciones de fila o columna.
Finalmente, tenga en cuenta que las operaciones de fila y columna simultáneamente le permitirán calcular el determinante de una matriz cuadrada fácilmente, por lo que hay una cierta ventaja en hacer esto. En particular, una operación de fila / columna del tipo “nuevo Ri = Ri + k Rj” o “nuevo Ci = Ci + k Cj” no cambiará el determinante, por lo que si se limita a esas operaciones, puede obtener su matriz en una forma en la que queda claro cuál es el determinante más rápidamente que limitarse a uno solo. Sin embargo, vale la pena enfatizar que esto se relaciona con mi comentario original sobre el propósito que está tratando de lograr; esto solo es realmente una ventaja en la situación en la que está encontrando determinantes.
El rango de una matriz
Finalmente, esta reducción de filas y columnas también conserva el rango de su matriz. Si realiza este tipo de reducción en cualquier matriz, lo que está garantizado que producirá eventualmente si lo intenta es una matriz con algunos 1 en su diagonal principal (pero no necesariamente en todo el camino) y ceros en todas partes. Algo como estos: $$ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 end {pmatrix} quad begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix} $$
El número de unos en esa diagonal es el rango de su matriz. Es decir, es la dimensión del espacio de la columna y el espacio de la fila, y la dimensión del rango de la transformación lineal definida por su matriz, y n menos la dimensión del espacio de la solución para su sistema de ecuaciones. Entonces, las dos matrices anteriores tienen rango 3 y 2 respectivamente.
Sin embargo, no hay nada en la forma reducida final que le diga cuáles son las soluciones reales de las ecuaciones o cuáles son las bases para los espacios. Todos estos pueden cambiarse de maneras que no son fáciles de seguir si realiza operaciones de fila y columna. Si solo hiciera operaciones de columna, entonces las columnas 1 a la izquierda serían una base para el rango de la transformación lineal, pero con las operaciones de fila y columna, estas columnas son todos vectores de base estándar y no necesariamente serán correctos. Si solo hiciera operaciones de fila, entonces las columnas no iniciales-1 aparecerían como las primeras coordenadas de los vectores en una base para el espacio nulo de la matriz, pero con las operaciones de fila y columna, estas columnas son todas cero.
Resumen
- La mayoría de las personas se refieren a Forma escalonada de fila reducida cuando dicen “matriz reducida”, que se define haciendo solo operaciones de fila.
- Las operaciones de fila conservan muchas propiedades útiles de las matrices y le brindan cierta información sobre las matrices.
- Las operaciones de columna conservan algunas propiedades útiles de las matrices y le brindan cierta información sobre las matrices.
- Las mezclas de operaciones de filas y columnas conservan solo una pequeña cantidad de propiedades. En particular, una mezcla preservará el rango y la invertibilidad de una matriz (pero no proporcionará bases para los subespacios asociados o el inverso real en sí).
Digamos que tiene un sistema de ecuaciones:
$$ begin {cases} a_ {11} x_1 + ldots + a_ {1m} x_m = b_1 \ vdots \ a_ {n1} x_1 + ldots + a_ {nm} x_m = b_n end {cases} $$
Entonces la matriz aumentada correspondiente es
begin {pmatrix} a_ {11} & ldots & a_ {1m} & | & b_1 \ vdots & ddots & vdots & | & vdots \ a_ {n1} & ldots & a_ {nm} & | & b_n end {pmatrix}
Las operaciones de fila corresponden a sumar y escalar ecuaciones o reordenarlas, lo cual, por la fuerza del álgebra regular, no cambia el sistema en general. Sin embargo, las operaciones de columna SÍ cambian el sistema, porque si escalamos la última columna con todos los $ b $ s, vemos que esto cambia lo que estamos tratando de resolver.
En particular: digamos que su primer conjunto de ecuaciones es simplemente:
$$ begin {cases} x + y = 1 \ xy = 0 end {cases} $$
entonces la matriz es
$$ begin {pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \ 1 & -1 & | & 0 end {pmatrix} $$
Es fácil ver que la solución es $ x = y = 1/2 $, sin embargo, si también podemos escalar las columnas, obtenemos $ x = y = 1 $ simplemente escalando la última columna por un factor de $ 2 $ , y si pudiéramos agregar columnas, obtendríamos la matriz:
$$ begin {pmatrix} 1 & 2 & | & 1 \ 1 & -1 & | & 0 end {pmatrix} $$
agregando la última columna a la segunda. Esto nos da el sistema:
$$ begin {cases} x + 2y = 1 \ xy = 0 end {cases} $$
donde vemos que $ x = y = 1/3 $, a diferente solución.
Cuando realiza operaciones de columna en lugar de operaciones de fila, cambia el solución en lugar del lado derecho. Para abreviar, digamos que estamos resolviendo $ Ax = b $; denotar la nueva solución después de una determinada operación de columna por $ x ‘$.
- Si multiplica la columna 1 por 2, $ x’_1 = x_1 / 2 $.
- Si intercambia las columnas 1 y 2, $ x’_1 = x_2 $, $ x’_2 = x_1 $.
- Si agrega la columna 1 a la columna 2, $ x’_1 = x_1 – x_2 $. (Verifique esto, solo probé esto en un ejemplo de $ 2 times 2 $).
Dejando de lado estos problemas, sí, puede usar tanto operaciones de columna como operaciones de fila en un procedimiento de eliminación gaussiano. Sin embargo, hay muy poco uso práctico para hacerlo. Casi el único uso es realizar pivotaje usando intercambios de filas y columnas (el llamado “pivote total”, en lugar de “pivoteo parcial”), pero uno encuentra que en la práctica los intercambios de filas por sí solos son suficientes.
Por cierto, el pivote total es bastante lento, porque requiere escanear toda la matriz, en lugar de solo una columna, al encontrar cada pivote. Esto aumenta el tiempo de ejecución en un factor constante, mientras que el pivote parcial agrega solo tiempo cuadrático a un procedimiento cúbico.