Solución:
Para encontrar su serie de Fourier, una función periódica con período $ R $ debe considerarse como una función definida en un círculo de circunferencia $ R $, llámelo $ S ^ 1_R $. La serie de Fourier de la función es entonces su representación en la base de $ L ^ 2 (S ^ 1_R) $ dada por las funciones propias ortonormales del operador de Laplace.
Si dos funciones tienen períodos inconmensurables, entonces su suma no es periódica, no desciende a un círculo de ninguna circunferencia y, por lo tanto, no tiene una serie de Fourier.
Como funciones en $ mathbb {R} $, si son suficientemente agradables, la transformada de Fourier da una descomposición análoga, pero debido a que hay muchas más funciones propias del operador de Laplace en $ mathbb {R} $, la suma es una integral. Comparar:
Sea $ e_ omega
La serie de Fourier de una función no periódica es realmente la serie de Fourier de su extensión periódica. Por ejemplo, hay una serie de Fourier de $ f (x) = x $ en $[0,pi]$, que en realidad es la serie de Fourier de la onda de diente de sierra que se forma al extender periódicamente $ f (x) = x $. La serie de Fourier para una función no periódica no convergerá en todos los puntos, pero seguirá convergiendo en el sentido de $ L ^ 2 $.
Además, las series de Fourier no están destinadas a definirse en toda la línea, de hecho están destinadas a definirse en intervalos. Esto tiene que ver con los cambios en el espectro del Laplaciano a medida que aumenta el dominio: en el límite, el espectro se vuelve denso y hay que recurrir a la transformada de Fourier en lugar de a la serie de Fourier.
Para responder a la pregunta original: es una cuestión de convención o terminología. El uso más habitual (como se ve en las otras respuestas y comentarios) es que “serie de Fourier” se refiere a la de una función periódica, o una extensión por periodicidad de una función en un intervalo a una función periódica en la línea. En particular, una suma de senos y cosenos, o exponenciales, con algunos períodos inconmensurables, a menudo no ser considerada una serie de Fourier.
Sin embargo, ciertamente tal cosa es una suma de cosenos y senos, o exponenciales, por lo que está relacionado de alguna manera. Tales cosas fueron investigadas en profundidad a principios del siglo XX por Harald Bohr y otros, en parte para observar el comportamiento de las series de Dirichlet.
Entonces, por un lado, en algunos contextos “serie de Fourier” significa “de función periódica”. En otros, puede que no.