Solución:
Tu corazonada está equivocada. Existe un paralelogramo no rectangular no romboide con lados enteros y longitudes diagonales:
Suponga que el paralelogramo es $ ABCD $ con $ AB = a $, $ AD = b $ y $ BD = c $. Según la ley de los cosenos: $$ cos angle DAB = frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab} $$ Dado que $ angle CDA = pi- angle DAB $, $ cos angle CDA = – cos angle DAB $. Entonces $$ AC ^ 2 = d ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos angle CDA = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab cdot frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab} = 2a ^ 2 + 2b ^ 2-c ^ 2 $$ $$ color {rojo} {c ^ 2 + d ^ 2 = 2 (a ^ 2 + b ^ 2)} $$ Si $ c = d $ tenemos un rectángulo; si $ a = b $ tenemos un rombo. Por lo tanto, buscamos un número que sea la suma de dos desigual cuadrados $ a $ y $ b $ cuyo doble es también una suma de dos desigual cuadrados $ c $ y $ d $, con las desigualdades triangulares satisfechas para garantizar que el paralelogramo no sea degenerado: $ | ab |
Al arreglar $ a $ y $ b $, una elección trivial es $ c = ab $ y $ d = a + b $ porque $ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) = (ab) ^ 2 + (a + b) ^ 2 $. Sin embargo, estas asignaciones no satisfacen las desigualdades de los triángulos, lo que hace que los números que tienen representaciones múltiples como sumas de dos cuadrados sean valiosos para este problema. Usé OEIS A025426 para encontrarlos; el primer número que vi fue $ 145 = 9 ^ 2 + 8 ^ 2 = 12 ^ 2 + 1 ^ 2 $, cuyo doble es $ 290 = 13 ^ 2 + 11 ^ 2 = 17 ^ 2 + 1 ^ 2 $. Las primeras representaciones enumeradas aquí me permitieron construir rápidamente el paralelogramo anterior, aunque no es el más pequeño: hay un paralelogramo con lados 4 y 7, diagonales 7 y 9.
Aquí hay una manera de generar de manera eficiente un número infinito de estos paralelogramos enteros. Sea $ r $ y $ s $ dos enteros coprimos con $ r> s> 0 $ y $ (r, s) ne (3,1) $. El producto $ (2 ^ 2 + 1 ^ 2) (r ^ 2 + s ^ 2) $ se puede escribir como una suma de dos cuadrados de dos formas diferentes (la identidad de Brahmagupta-Fibonacci): $$ (2 ^ 2 + 1 ^ 2) (r ^ 2 + s ^ 2) = (2r + s) ^ 2 + (2s-r) ^ 2 = color {blue} {(2s + r) ^ 2 + (2r-s) ^ 2} $$ A partir de estas dos representaciones, también podemos escribir el doble del producto como dos sumas diferentes de dos cuadrados: $$ 2 (2 ^ 2 + 1 ^ 2) (r ^ 2 + s ^ 2) = color {blue} {(2 (r + s) – (rs)) ^ 2+ (2 (rs) + (r + s)) ^ 2} = (2 (rs) – (r + s)) ^ 2+ (2 ( r + s) ^ 2 + (rs)) ^ 2 $$ Para satisfacer las desigualdades del triángulo, elegimos $$ color {blue} {a = 2r-s qquad b = 2s + r qquad c = 2 (r + s) – (rs) qquad d = 2 (rs) + (r + s)} $$ Estos están garantizados para formar un paralelogramo entero no rectangular no romboidal con las restricciones dadas en $ r $ y $ s $. El que se muestra en la parte superior de esta respuesta corresponde a $ (r, s) = (5,2) $ y la instancia más pequeña (la que tiene longitudes de lado 4 y 7) corresponde a $ (r, s) = (3, 2) $.
Para un cuadrilátero de lados $ a, b, c, d $, diagonales $ D_1, D_2 $ y $ m $ la distancia entre los puntos medios de estas diagonales se conoce la fórmula $$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = D_1 ^ 2 + D_2 ^ 2 + 4m ^ 2 $$ Para un paralelogramo tenemos $ a = c $ y $ b = d $ y $ m = 0 $ entonces uno tiene la fórmula $$ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) = D_1 ^ 2 + D_2 ^ 2 $$ Por otro lado, para la ecuación $ X ^ 2 + Y ^ 2 = 2Z ^ 2 $ la solución general con $ (X, Y) = 1 $ viene dada por la identidad $$ (r ^ 2-s ^ 2 + 2rs) ^ 2 + (r ^ 2-s ^ 2-2rs) ^ 2 = 2 ((r ^ 2-s ^ 2) ^ 2 + ( 2rs) ^ 2) $$ donde $ Z = r ^ 2 + s ^ 2 $ completa en el RHS un triple pitagórico. En consecuencia, haciendo $$ begin {cases} a = r ^ 2-s ^ 2 \ b = 2rs \ D_1 = r ^ 2-s ^ 2 + 2rs \ D_2 = r ^ 2-s ^ 2-2rs end {cases} $$ podemos obtener un número infinito de ejemplos de los paralelogramos requeridos.