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¿Puede un número multiperfecto ser un cuadrado perfecto?

Presta atención porque en este enunciado hallarás el arreglo que buscas.

Solución:

He encontrado referencias a una prueba de que cualquier triperfecto impar es un cuadrado.

Ver aquí y aquí. Ambos hacen referencia al siguiente artículo alemán:

H.-J. Kanold, "Über mehrfach vollkommene Zahlen. II," J. Reine Angew. Matemáticas., v. 197, 1957, págs. 82-96. RM 18, 873.

Estoy en el proceso de traducir y extraer la parte relevante y la editaré pronto.


Actualizar:

de la pág. 88-89, esto es lo que he extraído:

Lema 1.
Dejar $displaystyle n = prod_i=1^k p_i^alpha_i$ frijol $(s-1)$-dobla el número perfecto y también deja $sn equiv 1 pmod 2$. Entonces $n > 10^20$.

Prueba: Partimos de la relación

$$sn = s prod_i=1^k p_i^alpha_i = prod_i=1^k sigmabigl(p_i^alpha_ibigr).$$

De esto, vemos que

$$alpha_i equiv 0 pmod 2 text para i = 1, ldots, k$$

debe ser true.

[Remainder of proof excluded as this is all we need.]

Esto es lo que queremos desde $sn equiv 1 pmod 2$ medio $n$ es extraño (ya que $sn$ es impar implica ambos $s$ y $n$ son impares) y $alpha_i equiv 0 pmod 2$ significa que $n$ es un cuadrado perfecto (ya que cada potencia prima es par).

Para explicar esto un poco más, supongamos que algunos $alfa_j$ es impar y usa la siguiente fórmula (referencia):

$$sigmabigl(p_j^alpha_jbigr) = 1 + p_j + p_j^2 + cdots + p_j^alpha_j.$$

Ya que $n$ es raro, lo sabemos $p_j$ debe ser impar y, por lo tanto, cualquier poder de $p_j$ también es raro. Así tenemos un número impar de enteros impares más los restantes $1$. Por tanto, la suma es par, lo que implica $sn$ incluso. Esto es una contradicción. Por lo tanto, todos los $alpha_i$ debe ser par y por lo tanto $n$ es un cuadrado perfecto.


Editar: (Aclaración de $(s-1)$-doblar la notación de números perfectos)

Estas son las primeras dos frases del artículo:

Wir schließen uns in dieser Arbeit der Bezeichnungsweise einer früheren an Danach heißt eine naturliche Zahl $displaystyle n=prod_x=1^k p_x^alpha_x$ eine $(s-1)$-fach vollkommene Zahl, wenn sie der Bedingung $sigma(n) = s cdot n$ genügt. Morir $p_x$ Bedeuten Primzahlen, $sigma(n)$ bezeichnet die Summe aller positiven Teiler von $n$.

He traducido esto como:

Estamos de acuerdo en este trabajo con la notación anterior utilizada antes llamando a un número natural $displaystyle n=prod_x=1^k p_x^alpha_x$ un $(s-1)$-doblar el número perfecto si cumple la condición $sigma(n) = s cdot n$. El $p_x$ denota primos y $sigma(n)$ denota la suma de todos los divisores positivos de $n$.

Esto significa lo que ellos llaman un "$(s-1)$-doblar un número perfecto" es lo que llamaríamos un "$s$-número perfecto". Este entendimiento también concuerda con la demostración.

Un artículo de Chen y Luo (2012) publicado en el Boletín de la Sociedad Matemática Australiana parece contener la mayoría de los detalles que necesita. Una preimpresión está disponible en arXiv.

En particular, el teorema de Chen y Luo sobre la estructura explícita para números impares $k$-perfectos $n$ (para cualquier $k geq 2$) implica que $n$ no puede ser un cuadrado. (Al mismo tiempo, $n$ tampoco puede estar libre de cuadrados. Con respecto a esta última consideración, aquí hay una pregunta de MO relacionada).

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