Luego de de esta prolongada recopilación de datos dimos con la solución esta escollo que suelen tener ciertos usuarios. Te dejamos la respuesta y nuestro objetivo es resultarte de gran ayuda.
Solución:
No. El valor esperado del cuadrado del operador de cantidad de movimiento no puede ser negativo.
Las otras respuestas abordan su problema particular en un nivel de integración, pero también notan que esto se puede mostrar fácilmente en notación bra-ket.
Sea $|psirangle$ cualquier estado en el espacio de Hilbert, y sea $hat P$ el operador de cantidad de movimiento, entonces tenemos beginalign langle psi|hat P^2|psi rangle = langle psi|hat P^daggerhat P|psirangle = Big|hat P|psirangleBig|^2 >0 endalign En el primera igualdad, simplemente usamos el hecho de que $hat P$ es hermitiano; $hat P^daga = hat P$. En la segunda igualdad, usamos el hecho de que la expresión $langle psi|hat P^daggerhat P|psirangle$ es simplemente el producto interno de $hat P|psirangle$ con sí mismo, y en la tercera igualdad usamos el hecho de que el producto interno de cualquier vector consigo mismo es solo la norma cuadrada de ese vector. La última desigualdad se sigue de la definición positiva del producto interno.
Parece que OP ya sabe que la varianza es una cantidad manifiestamente no negativa, y está luchando por explicar un resultado negativo que obtuvo.
Pista: La función de onda $psi(x)=sqrtalphae^x$ no es diferenciable en $x=0$. La función generalizada $$tag1 psi^primeprime(x)~=~left(alpha^frac52- 2alpha^frac 32delta(x)right)e^~=~alpha^frac52e^-alpha – 2alpha^frac32delta(x)$$ tendrá contribuciones proporcionales a una distribución delta de Dirac.$^1$
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$^1$ En el último paso hemos ignorado algunas sutilezas matemáticas sobre cómo multiplicar una función no suave y una distribución delta de Dirac. Estos se hacen evidentes si tratamos de diferenciar más la función de onda (1).
Establezcamos $hbar$ y $alpha$ en uno. Entonces $psi(x)=Cexp(-|x|)$. Calculemos cuidadosamente la primera derivada de $psi(x)$. $d_x psi(x) = -C exp(-|x|)mathrmsgn(x)$. Ahora calculemos cuidadosamente la segunda derivada de $psi(x)$. beginecuación beginalineada d_x^2 psi(x) &= -C d_xexp(-|x|)mathrmsgn(x) \ &= C exp(-|x |)mathrmsgn(x)^2 -2Cexp(-|x|)delta(x)\ &= Cexp(-|x|)(1-2delta(x)) endaligned endequation Ahora queremos calcular $int psi(x) (-d_x^2) psi(x)$ y ver si realmente obtenemos algo negativo. Introduciendo nuestra expresión para $d_x^2 psi(x)$, obtenemos la integral beginequation beginaligned int Cexp(-|x|)(- Cexp(-|x) |)(1-2delta(x))) \ &= -C^2int exp(-2|x|)(1-2delta(x))\ &= -C^2 int exp(-2|x|) + 2C^2 int exp(-2|x|)delta(x)\ &= -C^2 + 2C^2 \ &= C^2 . endaligned endequation Así obtenemos una respuesta positiva. Así que tu único error fue que olvidaste hacer la regla de la cadena cuando sacaste la derivada.
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