La guía o código que verás en este artículo es la solución más rápida y efectiva que hallamos a tus dudas o dilema.
Solución:
Aquí hay dos razones por las que la teoría de Sturm-Liouville es útil:
Razón física: Noté que etiquetó esta pregunta como “física”. Casi todos los problemas de la física cuántica son un problema de función propia de Sturm-Liouville: es decir, ¡resolver la ecuación de Schrodinger!
Por ejemplo:
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Toma bien el cuadrado infinito. Aquí, la ecuación de Schrodinger tiene la forma $ mathcal L u + lambda u = 0 $, donde $ mathcal L = frac d ^ 2 dx ^ 2 $ (hasta un factor constante). Las condiciones de contorno $ u (0) = u ( pi) = 0 $. Este es un problema de función propia de Sturm-Liouville. Las funciones propias $ u_n = sin (nx) $ son las funciones de onda de los diversos estados, y los valores propios $ lambda_n = n ^ 2 $ son sus energías. (Los valores permitidos de $ n $ son $ n = 1,2,3, dots $)
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Para el oscilador armónico simple, la ecuación de Schrodinger se puede convertir a la ecuación de Hermite, que también tiene la forma de Sturm-Liouville. Las funciones propias y los valores propios están (estrechamente relacionados con) las funciones de onda y energías de los estados del oscilador armónico simple. (Este ejemplo es un sistema Sturm-Liouville “singular”, porque el dominio se extiende hasta el infinito).
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Cuando resuelve la ecuación de Schrodinger para el átomo de hidrógeno mediante la separación de variables, la ecuación radial se puede convertir en la ecuación de Laguerre asociada, que es otro sistema de Sturm-Liouville (singular) …
La teoría de Sturm-Liouville nos dice (con ciertas salvedades relacionadas con la dimensionalidad, los dominios infinitos y las singularidades, y con sutilezas que dependen de cuán estrechamente relacionado esté el problema de Sturm-Liouville con el problema original de Schrodinger) que:
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Hay una secuencia discreta de niveles de energía, etiquetados por un número cuántico $ n $. Esta discreción es la razón por la que la física cuántica se llama “cuántica”. Los valores de energía de los estados forman una secuencia ascendente $ lambda_1 leq lambda_2 leq lambda_3 leq dots $, que tiende al infinito. Entonces, en particular, hay una notación bien definida de un “estado fundamental” de energía mínima: este es el estado $ n = 1 $.
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Las funciones de onda de dos niveles de energía con distintos valores de energía son ortogonales. Ésta es una consecuencia fácil de la propiedad de autoadincidencia del operador hamiltoniano. Si cambiamos la escala de las funciones de onda (y elegimos las bases con cuidado si ciertos niveles de energía están degenerados), entonces podemos hacer que las funciones de onda sean ortonormales: es decir, $ int u_ n_1 u_ n_2 = delta_ n_1, n_2 $.
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Cualquier función de onda general $ u $ puede escribirse como una combinación lineal $ u = sum_n c_n u_ n $ de las funciones de onda de nivel de energía pura $ u_ n $. Ésta es la afirmación de “integridad” en la teoría de Sturm-Liouville. En el lenguaje de la física, el estado $ u $ es entonces una “superposición” de los estados de nivel de energía pura.
Además, es fácil calcular los coeficientes $ c_n $ en la descomposición lineal $ u = sum_n c_n u_ n $. Como tenemos una relación de ortogonalidad $ int u_ n_1 u_ n_2 = delta_ n_1, n_2 $, el coeficiente $ c_n $ es simplemente $ c_n = int u_ n u $.
Razón matemática: Suponga que deseamos resolver una ecuación de la forma $$ mathcal L u = f, $$ donde $ mathcal L $ es un operador diferencial de segundo orden del tipo Sturm-Liouville, y $ f $ es una función dada. (Por ejemplo, esto podría ser un sistema dinámico, donde $ f $ representa un término forzado).
Una estrategia común para resolver una ecuación de esta forma es comenzar por encontrar un conjunto de valores propios $ lambda_n $ y funciones propias $ u_n $ que satisfagan la ecuación, $$ mathcal L u_n + lambda_n w u_n = 0, $$ You ‘ Tiene razón al decir que la teoría de Sturm-Liouville en realidad no le ayuda a encontrar estos valores propios y funciones propias. Por lo general, las personas los determinan utilizando otros métodos, como series de potencias. [Many of these power series solutions to Sturm-Liouville eigenfunction problems are well known – perhaps you can read up on Legendre polynomials, Hermite polynomials, Laguerre polynomials, Chebyshev polynomials, and so on.]
Pero una vez que hemos encontrado que $ lambda_n $ y $ u_n $ satisfacen la ecuación de función propia, podemos usar estos valores y funciones propias, junto con los resultados de la teoría de Sturm-Liouville, para construir soluciones a la ecuación original $ mathcal L u = f $. Así es como lo hacemos:
Primero, la teoría de Sturm-Liouville nos dice que los $ u_n $ están completos. Entonces podemos escribir la solución $ u $ de nuestra ecuación original como una combinación lineal de los $ u_n $: $$ u = sum_n c_n u_n. $$
Si ahora sustituimos este ansatz en la ecuación $ mathcal L u = f $, obtenemos $$ – sum_n c_n lambda_n w u_n = f $$
La teoría de Sturm-Liouville también nos dice que los $ u_n $ son ortonormales (después del cambio de escala): $$ int w u_ n_1 u_ n_2 = delta_ n_1, n_2. $$
[By a standard integration-by-parts argument, this orthonormality property follows from the fact that a differential operator of the form $mathcal L = frac d dx p frac d dx + q$ is self-adjoint.]
Entonces, si multiplicamos ambos lados por $ u_k $ e integramos, obtenemos $$ c_k = – tfrac 1 lambda_k int f u_k. $$
¡Ahora hemos resuelto la ecuación! La respuesta es $$ u = sum_n left (- tfrac 1 lambda_n int f u_n right) u_n. $$
[If you like, you can think of $sum_n tfrac 1 lambda_n u_n(x’)u_n(x)$ as the Green’s function for the operator $mathcal L$.]
En resumen, la teoría de Sturm-Liouville no nos dice cómo encontrar las funciones propias y los valores propios que satisfacen $ mathcal L u + lambda wu = 0 $; esto se hace generalmente usando métodos de series de potencias. En cambio, la teoría de Sturm-Liouville nos brinda información sobre estas funciones propias y valores propios que nos permiten usarlos como bloques de construcción para construir soluciones a problemas generales de la forma $ mathcal L u = f $.
[This technique can be generalised for equations of the form
$ mathcal L u + mu w u = f,$
where $mu$ is a constant number. As along as $mu$ is not equal to any $lambda_n$, one can use the same method that the solution is
$ u = sum_n left( tfrac 1 mu – lambda_nint f u_n right) u_n.$
Since Sturm-Liouville theory tells us that the $lambda_n$’s form a discrete set (more specifically, a positive, strictly-increasing sequence), it follows that this solution method is valid for “almost” every choice of $mu$.]
La teoría de Sturm-Liouville surgió del estudio de la técnica de separación de variables de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y esa sigue siendo una aplicación importante. En este contexto, resolver la EDO no es el objetivo final, pero proporciona una forma de resolver una ecuación más complicada. Como ejemplo, suponga que $ A $ es una matriz autoadjunta y desea resolver una ecuación vectorial $$ frac dx dt = A x, ; ; ; x (0) = x_0. $$ Este problema puede reducirse encontrando una base ortonormal $ e_1, e_2, cdots, e_n $ de vectores propios para $ A $ con valores propios $ lambda_1, lambda_2, cdots lambda_n $ porque entonces puede escribe $$ x (t) = alpha_1 (t) e_1 + cdots + alpha_n (t) e_n $$ donde $ alpha_k (t) $ son funciones escalares de $ t $, y vuelve a insertar en la ecuación para obtener $$ sum_ k = 1 ^ n alpha_k ‘(t) e_k = sum_ k = 1 ^ n lambda_k alpha_k (t) e_k \ implica alpha_k (t) = alpha_k (0) e ^ lambda_k t. $$ Entonces puedes encontrar $ alpha_k (0) $ sabiendo que $ x (0) = x_0 $: $$ x_0 = x (0) = sum_ k = 0 ^ n alpha_k (0) e_k \ implica langle x_0, e_l rangle = alpha_l (0) \ x (t) = sum_ k = 1 ^ n e ^ lambda_k t langle x_0, e_k rangle e_k $$ Esta es una solución completa del problema.
La separación de variables funciona básicamente de la misma manera para las ecuaciones diferenciales parciales, pero en una escala más amplia. Aquí los operadores de Sturm-Liouville deben estar diagonalizados, lo que requiere un espacio de dimensión infinita y una base ortogonal infinita. Los operadores son selafadjoint, por lo que existe una fuerte similitud entre estos casos y el caso de matriz mencionado anteriormente. Por ejemplo, la ecuación de onda para un cable uniforme delgado estirado entre dos puntos fijos y arrancado hasta un desplazamiento inicial $ u_0 (x) $ inicialmente en reposo y luego liberado en $ t = 0 $ es una ecuación diferencial parcial para el desplazamiento desconocido $ u (t, x) $ del string gobernado por $$ frac parcial ^ 2 u parcial t ^ 2 = c frac parcial ^ 2 u parcial x ^ 2, \ u (t, 0) = u ( t, L) = 0, \ u (0, x) = f (x), \ u_ t (0, x) = 0. $$ En este caso, está trabajando con un operador $ A f = – frac partial ^ 2 partial x ^ 2 f $ en el dominio de funciones dos veces diferenciables $ f $ para las cuales $ f (0 ) = f (L) = 0 $. Este operador también tiene una base ortonormal de funciones propias, tal como lo hace una matriz autoadjunta: $$ e_n (x) = sqrt frac 2 L sin (n pi x / L). $$ El operador tiene valores propios $ lambda_n = n ^ 2 pi ^ 2 / L ^ 2 $ y $$ Le_n = lambda_n e_n. $$ Al expandir $ u (t, x) $ en estas funciones, se elimina la variable $ x $ y se obtiene una ecuación vectorial variable en el tiempo donde los vectores son funciones de $ x $ en el espacio vectorial $ L ^ 2[0,L]PS $$ u (t) = sum_ n = 1 ^ infty alpha_n (t) e_n $$ Los coeficientes $ alpha_n (t) $ son funciones de coeficientes escalares que deben satisfacer $$ alpha_n ” ( t) = c alpha_n (t), ; ; ; alpha_n (0) = langle f, e_n rangle, ; ; alpha_n ‘(0) = 0. $$ Las soluciones de la función de coeficiente son $$ alpha_n (t) = langle f, e_n rangle cos ( sqrt c n pi t / L), $$ que conduce a la solución PDE $$ u ( t, x) = sum_ n = 1 ^ infty langle f, e_n rangle cos ( sqrt c n pi t / L) e_n (x) \ = sum_ n = 1 ^ infty left[frac2Lint_0^Lf(x’)sin(npi x’/L)dx’right] cos ( sqrt c n pi t / L) sin (n pi x / L) $$ Esta solución es una descomposición del desplazamiento vibratorio en términos de los “modos naturales” del string, que son múltiplos armónicos de una frecuencia de estado fundamental fija, que es como el campo se conoció como Análisis Armónico.
Así que el objetivo no es tanto cómo resolver el problema de Sturm-Liouville, sino cómo utilizar la “diagonalización” del problema de Sturm-Liouville en términos de sus funciones propias para reducir los problemas de ecuaciones diferenciales parciales a problemas de ODE para los coeficientes en expansiones de funciones propias. de la solución a lo largo de una base que diagonaliza a un operador de Sturm-Liouville.