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Solución:
Editar: Me di cuenta de que la explicación del segundo paso anterior de la prueba a continuación era un poco oscura ya que, aunque era del todo correcta, no aclaraba lo suficiente por qué la elección del exponente de integrabilidad no se realiza adivinando. Por lo tanto, decidí sustituirlo por un procedimiento similar pero más directo y puse el paso 2 anterior en las notas para una breve prueba de su equivalencia.
No he visto la prueba de la desigualdad de Young a la que alude: sin embargo, la respuesta a su pregunta, es decir, si es posible probarla de otra manera, permaneciendo en el mismo nivel de conocimiento, es sí. La prueba que se da a continuación está inspirada y sigue a la de la bonita monografía. [1], pp. 26-27 y se basa en las desigualdades estándar y generalizadas (es decir, que involucran tres o más funciones) de Hölder y por una elección juiciosa de los exponentes de integrabilidad asociados a dos o tres factores que expresan $ | f (y) g (xy) | $: la introducción de una función auxiliar $ h $ no es requerido.
Desigualdad de Young. Dejar $ p, q, r in Bbb R $ ser tal que
$$ 1 le p le q le + infty, quad 1+ frac 1 r = frac 1 p + frac 1 q, label 1 etiqueta 1 $$
y deja $ f en L ^ p ( mathbf R ^ d) $ y $ g en L ^ q ( mathbf R ^ d) $: si
$$ f ast g (x) = int limits _ mathbf R ^ d f (y) g (xy) mathrm d y, $$
luego
$$ Vert f ast g Vert_ r le Vert f Vert_ p Vert g Vert_q label 2 tag 2 $$Comentario. La estrategia de la demostración es la siguiente: primero, en cada rango de valores de $ p, q, r $ definido por las condiciones eqref 1, expresaremos $ | f (y) g (xy) | $ como el producto de tres factores
$$ | f (y) g (xy) | = grande (| f (y) | ^ p | g (xy) | ^ q grande) ^ frac 1 s_1 | g (xy) | ^ frac q s_2 | f (y) | ^ frac p s_3. label step1 tag Step 1 $$
Dado que queremos estimar el $ L ^ r $ norma de la convolución, asumimos $ s_1 = r $.
Ahora ref paso1 implica que los coeficientes $ s_1, s_2, s_3 $ debe satisfacer las siguientes condiciones
$$ p left ( frac 1 s_1 + frac 1 s_3 right) = 1 quad q left ( frac 1 s_1 + frac 1 s_2 right) = 1, label c1 tag C1 $$
Tenemos, pues, un sistema lineal no homogéneo en el $ s_i ^ – 1 $ variables, $ i = 1,2,3 $ que tiene una solución única, siempre que $ pq neq0 $, y el segundo paso consiste en resolverlo para los exponentes desconocidos: explícitamente
$$ begin pmatrix 1 & 0 & 0 \ q & q & 0 \ p & 0 & p end pmatrix begin pmatrix s_1 ^ – 1 \ s_2 ^ – 1 \ s_3 ^ – 1 \ end pmatrix = begin pmatrix frac 1 r \ 1 \ 1 \ end pmatrix iff begin pmatrix s_1 ^ – 1 \ s_2 ^ – 1 \ s_3 ^ – 1 \ end pmatrix = begin pmatrix frac 1 r \ frac 1- frac q r q \ frac 1- frac p r p \ end pmatrix etiqueta paso2 etiqueta Paso 2 $$
El tercer y último paso es estimar la $ L ^ r $ norma de la convolución $ f ast g $ aplicando a la ecuación eqref paso1 una de las diversas formas de desigualdad de Hölder. Esto, por supuesto, se puede hacer ya que se verifica fácilmente que
$$ frac 1 s_1 + frac 1 s_2 + frac 1 s_3 = 1. label c2 tag C2 $$Prueba. Si $ r = infty $, entonces eqref 2 es una consecuencia directa de la desigualdad del Holder estándar, ya que
$$ frac 1 p + frac 1 q = 1. $$
Asumiendo $ r <+ infty $, eqref 2 debe verificarse para los tres rangos definidos por las condiciones eqref 1, es decir
- $ 1 y $ 1;
- $ p = 1;
- $ p = r $ y $ q = 1 $.
- Caso 1: este es el caso más general. De ref paso2 tenemos
$$ begin cases s_1 = r \ \ s_2 = dfrac q 1- frac q r \ s_3 = dfrac p 1- frac p r end cases, $$
y así la ecuación eqref paso1 se convierte en
$$ | f (y) g (xy) | = big (| f (y) | ^ p | g (xy) | ^ q big) ^ frac 1 r | g (xy) | ^ 1 – frac q r | f (y) | ^ 1- frac p r. label 3 tag 3 $$
Estimando la convolución $ f ast g $ usando eqref 3 y la desigualdad de Hölder generalizada da
$$ | f ast g (x) | le bigg ( int limits _ mathbf R ^ d | f (y) | ^ p | g (xy) | ^ q mathrm d y bigg) ^ ! frac 1 r Vert f Vert_ p ^ 1- frac p r Vert g Vert_q ^ 1- frac q r etiqueta 4 etiqueta 4 $$
y aplicando la desigualdad de Hölder generalizada a eqref 4 finalmente se obtiene
$$ begin split Vert f ast g Vert_r & le Vert f Vert_ p ^ 1- frac p r Vert g Vert_r ^ 1- frac q r bigg ( int limits _ mathbf R ^ d mathrm d x int limits _ mathbf R ^ d | f (y) | ^ p | g (xy) | ^ q mathrm d y bigg) ^ frac 1 r \ & = Vert f Vert_ p ^ 1- frac p r Vert g Vert_q ^ 1- frac q r bigg ( int limits _ mathbf R ^ d | f (y) | ^ p mathrm d y int limits _ mathbf R ^ d | g (x) | ^ q mathrm d x bigg) ^ ! frac 1 r \ & = Vert f Vert_ p Vert g Vert_r end split $$ - Caso 2 y Caso 3: en estos casos, el lado derecho de la ecuación eqref 3 se reduce al producto de dos términos y la desigualdad eqref 2 se obtiene mediante la desigualdad estándar de Hölder. Explícitamente,
$$ | f (y) g (xy) | = begin cases big (| f (y) || g (xy) | ^ q big) ^ frac 1 r | f (y) | ^ 1- frac 1 r & text en el caso 2 \ big (| f (y) | ^ p | g (xy) | big) ^ frac 1 r | g (xy) | ^ 1- frac 1 r & text en el caso 3 end casos. Qquad blacksquare $$
Notas finales
- Esta demostración es completamente elemental y no requiere “adivinar” los coeficientes. $ s_1, s_2, s_3 $, que en cambio están bien definidos y son calculables.
- Por qué el segundo paso anterior es completamente equivalente al propuesto anteriormente? Porque el sistema lineal no homogéneo obtenido considerando directamente, sin asumir a priori $ s_1 = r $, las condiciones implicadas por la ecuación eqref 3 y por la necesidad de usar la desigualdad de Hölder, es decir, eqref c1 y eqref c2, es perfectamente equivalente a eqref step2. Para ver esto, basta con anotarlo y resolverlo.
$$ begin pmatrix p & 0 & p \ q & q & 0 \ 1 & 1 & 1 end pmatrix begin pmatrix s_1 ^ – 1 \ s_2 ^ – 1 \ s_3 ^ – 1 \ end pmatrix = begin pmatrix 1 \ 1 \ 1 \ end pmatrix iff begin pmatrix s_1 ^ -1 \ s_2 ^ – 1 \ s_3 ^ – 1 \ end pmatrix = begin pmatrix frac 1 p + frac 1 p -1 \ 1- frac 1 p \ 1- frac 1 q \ end pmatrix, $$
y luego use eqref 1 para expresar $ s_1, s_2 $ y $ s_3 $ respectivamente como funciones de $ r $, $ r $ y $ q $, $ r $ y $ p $. Finalmente, conviene señalar que, en el enfoque anterior, la verdad de eqref c2 es una consecuencia del uso implícito de eqref 1. - Como observación final, permítanme decir que Besov, Il’in y Nikol’skiĭ prueban eqref 2 ([1], pag. 27-28) primero por $ d = 1 $ (sin mostrar eqref paso1 y eqref paso2 de forma explícita) y luego para exponentes vectoriales y $ d ge 2 $, es decir $ mathbf p = (p_1, ldots, p_d) $, $ mathbf q = (q_1, ldots, q_d) $ y $ mathbf r = (r_1, ldots, r_d) $ donde cada uno de sus $ i $-ésimo componente satisface la relación eqref 1: el resultado se utiliza en el desarrollo de la teoría de función anisotrópica (Sobolev y Besov) espacios.
Bibliografía
[1] Oleg V. Besov, Valentin P. Il’in, Sergei M. Nikol’skiĭ (1978), Representaciones integrales de funciones y teoremas incrustados. Vol. I, Ed. por Mitchell H. Taibleson. Traducción del ruso. (Inglés) Serie Scripta en Matemáticas. Washington, DC: VH Winston & Sons. Nueva York-Toronto-Londres: John Wiley & Sons, ISBN: 0-470-26540-X, págs. VIII + 345, MR0519341, Zbl 0392.46022.
Aquí hay una prueba alternativa que es similar pero también ligeramente diferente a la propuesta por Daniele Tampieri. Atacaremos esto mediante un teorema más general. A lo largo denotaremos por $ x $ un elemento de $ mathbb R ^ m $ y $ y $ un elemento de $ mathbb R ^ n $. A lo largo de $ r ‘, s’ $ denotará el Titular conjugados de $ r, s $ respectivamente.
Teorema
Dejar $ 1 leq r leq s leq infty $y supongamos $ k in L ^ s_x L ^ r_y cap L ^ s_y L ^ r_x $, con la norma de intersección
$$ | k | _ cap = max ( | k | _ L ^ s_x L ^ r_y, | k | _ L ^ s_y L ^ r_x) $$
Entonces para cualquier $ theta in [0,1]PS, y
$$ frac 1 p: = frac 1- theta s ‘ + frac theta r’, qquad frac 1 q: = frac 1- theta r ‘ + frac theta s’ $$
tenemos
$$ int k (x, y) f (x) g (y) ~ mathrm d y ~ mathrm d x leq | k | _ cap | f | _ L ^ p_x | g | _ L ^ q_y. $$
Este teorema implica la desigualdad de Young si establecemos $ m = n $, $ s = infty $, y $ k (x, y) = tilde k (xy) $.
Para que este teorema sea válido, basta con mostrar que la función $ f (x) g (y) $ pertenece al dual de $ L ^ s_x L ^ r_y cap L ^ s_y L ^ r_x $, o que sea suficiente para mostrar
$$ f (x) g (y) in (L ^ s ‘ _ x L ^ r’ _ y + L ^ s ‘ _ y L ^ r’ _ x) $$
Sin pérdida de generalidad podemos asumir $ | f | _p = | g | _q = 1 $.
Observe que la definición de $ p $ y $ q $ implica que
$$ 1 = (1- theta) frac p s ‘ + theta frac p r’ = (1- theta) frac q r ‘ + theta frac q s ‘ $$
por lo tanto podemos escribir
$$ f (x) g (y) = [ f(x)^p/s’ g(y)^q/r’]^ 1- theta cdot [f(x)^p/r’ g(y)^q/s’]^ theta $$
Entonces, la desigualdad de Young (para productos) implica el límite puntual
$$ f (x) g (y) leq (1- theta) f (x) ^ p / s ‘ g (y) ^ q / r’ + theta f (x) ^ p / r ‘ g ( y) ^ q / s ‘ $$
El primer término de la derecha tiene $ L ^ s ‘ _ x L ^ r’ _ y $ norma limitada por $ (1- theta) $ y el segundo término tiene $ L ^ s ‘ _ y L ^ r’ _ x $ norma limitada por $ theta $. Esto prueba el teorema.
Gracias Daniele y Willie por estas agradables respuestas. Willie: Intenté esta cosa de la variable de duplicación pero me quedé atascado: estaba escribiendo $ | h (x + y) | $ como el producto de dos elementos respectivamente en $ L ^ infty_y (L ^ p ‘ _ x) $ y $ L ^ infty_x (L ^ q ‘ _ y) $, que no era el buen punto de vista, ¡una buena idea que obtuviste allí! Dado que la respuesta de Daniele fue lo primero y comenzó todo, voto por él.
Encontré otra forma de presentar la prueba, que de alguna manera está vinculada a sus respuestas.
Mientras escribía en mi publicación original, el caso “fácil” $ L ^ alpha star L ^ alpha ‘ $ implica el $ L ^ alpha star L ^ 1 $ uno por dualidad debido a la fórmula
begin align * int _ mathbf R ^ d (f star g) h = int _ mathbf R ^ d f (g star check h). end alinear *
Ahora, como de costumbre, podemos asumir wlog $ f, g geq 0 $ con $ | f | _p = | g | _q = 1 $. El caso $ L ^ r estrella L ^ 1 $ muestra que $ f ^ p star g ^ q / r $ tiene $ L ^ r ( mathbf R ^ d) $ norma menor que $ 1 $ y lo mismo vale para $ f ^ p / r estrella g ^ q $. Gracias a la desigualdad de Hölder, esto significa que solo necesitamos demostrar ae para algunos $ theta in[0,1]PS begin align * f star g leq (f ^ p star g ^ q / r) ^ theta (f ^ p / r star g ^ q) ^ 1- theta, end alinear *
y otro uso de la desigualdad de Hölder permite reducir esto a probar un
begin align * f (xy) g (y) leq (f (xy) ^ pg (y) ^ q / r) ^ theta (f (xy) ^ p / r g (y ) ^ q) ^ 1- theta, end align *
y de hecho incluso tenemos una igualdad de este tipo. En efecto $ p in[1,r]PS entonces tenemos
$ frac1p = theta + frac 1- theta r $ para algunos $ theta in[0,1]PS y agregando $ frac1q $ en ambos lados muestra que $ 1- theta + frac theta r = frac 1 q $.