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prueba: si $G$ es un grupo finito de orden $n$ y $p$ es el primo más pequeño que divide a $|G|$ entonces cualquier subgrupo de índice $p$ es normal

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Solución:

Para la segunda pregunta, observe que en la prueba $[H:K]=k$, entonces $kmid |H|mid |G|$ desde $Hleq G$. Entonces cualquier divisor primo de $k$ también es divisor de $|G|$. Pero todo divisor primo de $k$ divide a $(p-1)!$, por lo que es menor que $p$. Dado que $p$ es el menor primo que divide a $|G|$, $k$ no puede tener ningún divisor primo, de lo contrario tendríamos un divisor primo de $|G|$ estrictamente menor que $p$. Pero el único entero positivo sin factores primos es $1$, entonces $k=1$.

pero entonces $[H:K]=1$, y dado que $H$ y $K$ son grupos finitos, eso significa $|H|=|K|$, por lo que necesariamente $H=K$.

Agregado: Para la primera pregunta, recuerda que si $q$ es un número primo y $qmid ab$, entonces $qmid a$ o $qmid b$. Este es el Lema de Euclides. Entonces, si $q$ es un factor primo de $(p-1)!=1cdot 2cdot 3cdots p-1$, debemos tener $qmid j$ para algún $j=1,2, puntos,p-1$. Entonces necesariamente $q

Si no está familiarizado con esa propiedad de los números primos, otra forma de ver esto es observar que la descomposición en factores primos de $(p-1)!$ es el producto de las descomposición en factores primos de $1,2,dots,p- 1$. Pero para cada $1leq jleq p-1$, la descomposición en factores primos de $j$ no debe tener ningún factor primo mayor o igual que $p$. Entonces, la descomposición en factores primos de $(p-1)!$ consiste solo en números primos menores que $p$.

Podemos usar el Teorema de Cayley para demostrar que:

Teorema: Dejar que el grupo $G$ tener un subgrupo $H$ de índice $n$entonces hay un subgrupo normal $K$ de $G$ tal que $$Ksubconjunto H,~~ m=[G:K]

Ahora deja $Hleq G$ y ps[G:H]=p$ tal que $p$ tiene la propiedad la pregunta anotada. Entonces, de acuerdo con el teorema anterior, hay un subgrupo normal $K$ de $G$ contenida en $H$ tal que ps[G:K]grande|p!$. Pero ps[G:H]grande ||G|$ también, así que desde $p$ es el número divisor más pequeño entonces necesariamente tenemos $$[G:K]grande|p$$ y esto significa que $K=H$.

Considere las factorizaciones primas de $p-1, p-2,$, etc. hasta $1$. Ninguno de estos puede ser divisible por $p$ porque, como $p$ es un número primo, el número más bajo divisible por $p$ es $p$. Entonces, dado que $p$ no divide ninguno de esos números, tampoco divide su producto, es decir, $pnotmid (p-1)!$. Lo mismo ocurre con todos los primos $q$ mayores que $p$, tenemos que $qnotmid p-1$, $qnotmid p-2$, etc. y por lo tanto $qnot mid (p-1)!$. Entonces, cada divisor primo de $(p-1)!$ es menor que $p$.

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