Solución:
Sea $ lambda $ un valor propio de A y $ x neq 0 $ vector propio respectivo, entonces
$ Ax = lambda x Leftrightarrow A ^ {- 1} A x = lambda A ^ {- 1} x Leftrightarrow x = lambda A x Leftrightarrow x = lambda ^ 2 x Leftrightarrow (1- lambda ^ 2) x = 0 $
entonces $ lambda = pm 1 $
Otro enfoque es notar que, dado que $ A ^ 2 = I $, el polinomio mínimo de una matriz involutiva dividirá $ x ^ 2 – 1 = (x-1) (x + 1) $. Los casos donde el polinomio mínimo es $ (x-1) $ o $ (x + 1) $ corresponden a los casos “degenerados” $ A = I $ y $ A = -I $. Aquí, los valores propios son todos $ 1 $ y todos $ -1 $ respectivamente. Todos los demás casos dan como resultado que $ A $ tenga una combinación de valores propios de $ -1 $ y $ 1 $, reconociendo, por supuesto, que no hay distinción entre $ -1 $ y $ 1 $ cuando $ A $ está sobre un campo base de la característica dos.
De manera más general, para un campo base complejo, este enfoque se puede utilizar para mostrar que el conjunto de valores propios de una matriz $ m $ -involución $ A $ (para la cual $ A ^ m = I $ para un entero $ m> 1 $ ) pertenece al conjunto de $ m $ -ésimas raíces de la unidad.
Aquí hay otro enfoque con diagonalización. Dejar $ A = S Lambda S ^ {- 1} $, dónde $ S $ tiene los autovectores de $ A $ como sus columnas y $ Lambda $ es la matriz con valores propios en su diagonal principal. Luego $ A ^ 2 = S Lambda ^ 2S ^ {- 1} = I $, asi que $ S Lambda ^ 2 = S $ y $ Lambda ^ 2 = I $. Dado que las entradas diagonales de $ Lambda ^ 2 $ son los valores propios al cuadrado, entonces $ lambda_i ^ 2 = 1 $ comparando las entradas de $ Lambda ^ 2 $ y $ I $. Entonces $ lambda_i = pm1 $.