Agradecemos tu ayuda para extender nuestras secciones en referencia a las ciencias de la computación.
Solución:
Sí, su prueba es correcta. Aquí, simplemente lo reformularé para mejorar ligeramente la claridad y la precisión.
Sea $V$ un espacio vectorial sobre $mathbb R$ (o $mathbb C$) con $dim(V) = n$ y norma $|cdot|$. Sea $e_i_i=1,cdots , n$ una base de $V$. Supongamos que $v_k$ sea una secuencia de Cauchy con $|cdot|$.
Dado que dos normas cualesquiera en un espacio de dimensión finita son equivalentes, $|cdot|$ es equivalente a la $l^1$-norma $|cdot|_1$. Entonces, hay $C,D>0$ tales que, para todo $win V$, $C |w|_1 leq |w| leq D |w|_1$.
Entonces, tenemos, para todo $varepsilon > 0$, hay $N$ tales que, si $k,j>N$, $$ varepsilon > |v_j – v_k| geq C |v_j – v_k|_1 = C sum_i=1^n |v_ji – v_ki| geq C |v_ji – v_ki|$$ por cada $1 leq i leq n$. Por lo tanto, $v_ki$ es una sucesión de Cauchy en $mathbb R$ (o $mathbb C$) para cada $i$. Como $mathbb R$ (o $mathbb C$) está completo, hay $u_i$ en $mathbb R$ (o $mathbb C$) tal que $u_i = lim_k to infty v_ki $, por cada $i$. Sea $u = (u_1, dots , u_n) = sum_i u_i e_i$. Entonces, es claro que $u$ está en $V$.
Probemos $lim_k to +infty |v_k – u| = 0$:
$$ lim_k to +infty |v_k – u| leq D lim_k to +infty |v_k – u|_1 = D lim_k to +infty sum_i=1^n |v_ki – u_i| = D sum_i=1^n lim_k to +infty |v_ki – u_i|=0$$
Creo que hay una manera simple de demostrar esto.
Sea $ left(E, | | right)$ un $mathbbK$ espacio vectorial de dimensión finita. Considere la siguiente aplicación:
beginalineado mathbb K ^ n & rightarrow E \ left( lambda _ 1 , ldots , lambda _ n right) & mapsto sum _ i = 1 ^ n lambda _ i e _ i endaligned que es una biyección isométrica lineal (por lo tanto, un homeomorfismo) entre $ left(mathbb K ^ n , | | _inftyright)$ y $ left(E, | |_infty right)$.
La preimagen de un espacio completo por una función uniformemente continua y biyectiva siendo completa y $ left(mathbb K ^ n , | | _inftyright)$ siendo un espacio completo, entonces $ left( E, | | _inftyright)$ está completo. Dado que todas las normas sobre un espacio de dimensión finita son equivalentes, se sigue que $ left(E, | | right)$ está completo.
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