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Prueba de que los números enteros no tienen divisores de cero.

Posterior a investigar en diferentes repositorios y sitios al terminar hemos descubierto la solución que te enseñaremos más adelante.

Solución:

Insinuación

Primero demuestre por inducción que para cualquier $langle a,brangle$ existe un $ninmathbb N$ tal que $langle a,branglesim langle n,0rangle$ o $ langle a,branglesimlangle 0,nrangle$. Comience con $langle a,0rangle$ y proceda por inducción en $b$.

Supongo que ha probado que $cdot_mathbb Z$ está bien definido. Esa es en realidad una prueba mucho más difícil, en algún nivel.

Esto hace que sus casos sean mucho más claros.

Supongamos que $langle a,b rangle cdot langle c,d rangle = 0_mathbbZ$ y $langle a,brangle neq 0_mathbbZ$. Probamos que $langle c , d rangle = 0_mathbbZ$.

Entonces tenemos $ac + bd = ad + bc$ y $a neq b $ y queremos mostrar que $c=d$.

Como estamos trabajando en los números naturales, no podemos usar la resta, lo que facilitaría la tarea. Pero podemos evitar esta limitación usando la definición de la relación $<$ en $mathbbN$.

Caso 1: $a>b$

Entonces $a = b+k$ para algunos $kin mathbbN$, $k neq 0$.

Entonces $(b+k) c + bd = (b+k) d + bc$.

$Flecha derecha b(c+d) + kc = b(c+d) + kd$

$Flecha derecha kc = kd$

$Flecha derecha c=d$.

Aquí usamos en los dos últimos pasos que los términos y factores se pueden cancelar de ambos lados de una ecuación. Es posible que ya lo haya probado o puede probarlo por inducción.

Caso 2: $a

similar al caso 1.

Si te mola el tema, tienes la opción de dejar un tutorial acerca de qué le añadirías a esta sección.

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