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Solución:
Primero, una observación importante. Los vectores son objetos matemáticos, al igual que los números, las matrices, los tensores, los grupos, las variedades, etc. Estas cosas son parte de la física porque resultan ser un buen modelo para el mundo físico, pero no son parte de él. Los vectores no son algo que exista en la realidad física, sea lo que sea. Así que separemos las matemáticas y la física.
Puede definir un vector como una tupla ordenada de números reales o como una flecha en el espacio; no hace ninguna diferencia porque las definiciones son equivalentes. En el caso de una tupla ordenada de números, la suma se define por componentes. Si define un vector como una flecha, entonces la suma se define con el paralelogramo o la ley del triángulo. Se puede demostrar que estas nociones de suma son equivalentes, pero no creo que ese sea el punto de su pregunta.
Por otro lado, encontramos que una buena manera de modelar la forma en que se mueven las cosas es con fuerzas. Supón que estás flotando en un espacio vacío cerca de una estrella. Sentirás la fuerza de la gravedad atrayéndote hacia la estrella. Podemos modelar esta fuerza como un vector, donde la magnitud y la dirección del vector corresponden a las de la fuerza, y puedes usar tu conocimiento de esta fuerza (hasta ahora solo hay una) para calcular tu movimiento usando la ley de Newton.
Ahora supongamos que la estrella desaparece mágicamente y es reemplazada por una diferente, tal vez con una masa diferente y un poco hacia un lado. Ahora la fuerza (y su vector asociado) apunta a la nueva estrella, y puede usar nuevamente la ley de Newton. Pero, ¿y si ambas estrellas están presentes? Hasta ahora todo lo que sabemos es que es conveniente representar una fuerza por un vector, pero no tenemos idea de qué hacer cuando hay varias fuerzas. Se encuentra experimentalmente que cuando hay múltiples fuerzas actuando sobre ti, es exactamente como si hubiera una sola fuerza, cuyo vector está dado por la suma vectorial de los vectores de las fuerzas individuales.
Aunque esto suena obvio, no es una afirmación trivial. A priori, ¿quién dice que múltiples fuerzas actuando a la vez equivalen a una sola fuerza? pasa a ser truey por eso decimos que las fuerzas son vectores.
Por supuesto, he usado fuerzas como ejemplo, pero el principio de superposición también se aplica a velocidades, posiciones, campos electromagnéticos, etc. Porque se encuentra experimentalmente que el principio de superposición es válido, usamos vectores para modelar todas esas cosas.
La adición de vectores básicamente encontró su origen en la Ley triangular de la suma de vectores
La ley del triángulo de los vectores básicamente es un proceso que permite tomar dos vectores, dibujarlos proporcionales entre sí, conectarlos por la cola y luego dibujar el vector resultante como resultado del tercer lado que falta.
los ley del paralelogramo es solo una explicación adicional de la ley triangular,
Si se considera que dos vectores son los lados adyacentes de un paralelogramo, entonces la resultante de dos vectores viene dada por el vector que es una diagonal que pasa por el punto de contacto de dos vectores.
La demostración del vector resultante en la suma de paralelogramos es la siguiente:
Considere un paralelogramo $OABC$ como se muestra en la figura,
Dejar $P;&; Q$ ser dos lados adyacentes de un paralelogramo, y $R$ sea el vector resultante obtenido por suma de vectores $P;&; Q$,
Ahora, deja caer una perpendicular desde $C$ en $OA$ para que se encuentren en $A$.
Del triángulo rectángulo $Delta OCD;,; OC^2=DE^2+DC^2$
$$[OD=OA+AD]$$$$R^2=(OA+AD)^2+DC^2$$$$R^2=OA^2+AD^2+2OA.AD+DC^2$$
Desde $Delta$ADC, $AC^2=AD^2+DC^2$
y también $costheta= fracADAC$
Y por lo tanto $R^2= OA^2+AC^2+2 OA.AC costheta$
y sustituyendo A y B$$R^2=A^2+B^2+2 AB costheta$$
Sea $mathbfa;,; mathbfb$ sean dos vectores y que éstos constituyan los lados de un paralelogramo de modo que sean co-iniciales de uno de los vértices de un paralelogramo. Entonces, considerando el supuesto de que la ley sea true(esto es lo que vamos a juzgar ahora si tomando la suposición de la validez de la ley, podemos probar algo que se determina antes por la geometría elemental), las dos diagonales son $mathbfa + b;, ;mathbfb-a$. La suma de los cuadrados de las diagonales es $left| mathbfa + b right|^2 + left| mathbfb – a right|^2$. Ahora, de la geometría euclidiana, obtenemos de la ley del paralelogramo que establece que,
The sum of the squares of the lengths of the four sides of a parallelogram equals the sum of the squares of the lengths of the two diagonals.$^1$
Entonces, la suma de los cuadrados de las diagonales, es decir, $left| mathbfa + b right|^2 + left| mathbfb – a right|^2 $ debe ser igual a la suma de los cuadrados de los lados $2(|mathbfa|^2 + |mathbfb|^2)$.
Esto se puede demostrar mediante el producto interior o, en este caso, el producto escalar.
$$beginalinear izquierda| mathbfa + b right|^2 + left| mathbfb – a right|^2 = (mathbfa + b) cdot (mathbfa + b) + (mathbfb – a) cdot (mathbfb – a) endalign implica left| mathbfa + b right|^2 + left| mathbfb – a right|^2 = 2mathbfacdot mathbfa +2mathbfbcdot mathbfb =2(|mathbfa| ^2 + |mathbfb|^2)$$ lo que hace que supongamos que la ley es true absolutamente true.
$^1$ Courtsey: Wikipedia-Ley del paralelogramo; Si desea deducir la ley del paralelogramo en geometría elemental, compruebe ¿Es la ley del paralelogramo un teorema o un axioma?.