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prueba de la divergencia del producto vectorial de dos vectores

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Solución:

Solo necesita escribir todo claramente, para que pueda ver los términos de equivalencia.

Tratemos primero con el lado izquierdo. $$vecAtimesvecB=(A_2B_3-A_3B_2)veci+(A_3B_1-A_1B_3)vecj+(A_1B_2-A_2B_1)veck$$ I escribía la componente de $A$ siempre delante de la componente de $B$ para que se viera fácilmente. Ahora todo el lado izquierdo es la divergencia de esto: $$fracpartial(A_2B_3-A_3B_2)partial x+fracpartial(A_3B_1-A_1B_3)partial y+frac parcial(A_1B_2-A_2B_1)parcial z$$

Esperemos un momento para hacer la regla del producto y, en su lugar, miremos el lado derecho. $$nabla times vecA=(fracparcial A_3parcial y-fracparcial A_2parcial z)veci+(frac parcial A_1parcial z-fracparcial A_3parcial x)vecj+(fracparcial A_2parcial x-fracparcial A_1 parcial y)veck$$ El primer término es el producto escalar de $B$ con él, así que simplemente reemplaza $i,j,k$ por $B_1,B_2,B_3$: $$vec Bcdot nabla times vecA=B_1(fracparcial A_3parcial y-fracparcial A_2parcial z)+B_2(frac parcial A_1parcial z-fracparcial A_3parcial x)+B_3(fracparcial A_2parcial x-fracparcial A_1parcial y ) $$

Ahora el segundo término es similar. Solo necesitamos cambiar $A$ y $B$, y recuerda que es negativo: $$vecAcdot nabla times vecB=A_1(fracpartial B_3partial y-fracparcial B_2parcial z)+A_2(fracparcial B_1parcial z-fracparcial B_3parcial x)+A_3(frac B_2 parcialx parcial-fracB_1 parcialy parcial) $$

Ahora puede comparar cada producto en el lado izquierdo con los términos correspondientes en el lado derecho. Por ejemplo, la regla del primer producto en el lado izquierdo es $$fracparcial(A_2B_3)parcial x=A_2fracparcial(B_3)parcial x+frac parcial(A_2)parcial xB_3$$

Es fácil ver qué términos en el lado derecho son iguales a estos dos términos. Te dejo a ti continuar.

En notación de índice

begineqnarray* (A times B)_i = epsilon_ijk A_j B_k endeqnarray* (Convención de suma sobre índices repetidos de Einstein). Entonces si $A_j_,i=partial A_j/partial x_i$, y de $nabla times A=epsilon_ijk A_k_,j$ (y así para los otros símbolos)

begineqnarray* nabla cdot (A times B) &=& [epsilon_ijk A_j B_k],_i \ &=& epsilon_ijk A_j_,i B_k + epsilon_ijk A_j B_k_,i \ &=& B_k ( epsilon_kij A_j_,i) - A_j ( epsilon_jik B_k_,i) \ &=& B cdot (nabla times A) - A cdot ( nabla veces B ) endeqnarray* donde aparece el signo menos ``-'' ya que $epsilon_ijk=-epsilon_jik$.

Si sostienes alguna desconfianza y disposición de afinar nuestro tutorial eres capaz de ejecutar un paráfrasis y con gusto lo analizaremos.

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