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Solución:
Escribiré solo sobre la primera desigualdad $$limsuplimits_n rightarrow infty s_n + liminflimits_n rightarrow infty t_n leq limsuplimits_n rightarrow infty (s_n + t_n).$$ (Escribiste que puedes probar el resto.)
Por definición, si $liminf t_n=t$ entonces para cada $varepsilon>0$ la desigualdad $t_n>t-varepsilon$ se cumple para todos excepto para un número finito de $n$. Para tales $n$ también tenemos $s_n+t_n>s_n+t-varepsilon$ y $$limsup(s_n+t_n) ge limsup (s_n+t-varepsilon) = t-varepsilon+ limsup (s_n).$$ (Hemos usado la monotonicidad de $limsup$ y que $limsup (C+x_n)=C+limsup x_n$ para cualquier constante $C$.) Dado que la desigualdad anterior es true por cada $varepsilon>0$, obtenemos que $$limsup(s_n+t_n) ge t + limsup (s_n)=liminf t_n+limsup s_n.$$
EDITAR: Tenga en cuenta que la demostración anterior no funciona para $t=-infty$ (no tiene sentido escribir $-infty-varepsilon$), pero en este caso la desigualdad es clara. (Por supuesto, tenemos que omitir el caso indeterminado $infty-infty$, es decir, en este caso asumimos que $limsup s_n$ es finito).
O si usa $liminflimits_ntoinfty x_n= limlimits_ntoinfty inflimits_kge n x_k$ y $limsuplimits_n toinfty x_n= limlimits_ntoinfty suplimits_kge n x_k$ como la definición de límite inferior/superior, entonces puedes usar $$sup_kge n (x_k+y_k) ge sup_kge n x_k + inf_kge n y_k$$ para obtener $$lim_ntoinftysup_kge n (x_k+y_k) ge lim_ntoinftysup_kge n x_k + lim_ntoinftyinf_kge n y_k\ limsup_n toinfty (x_n+y_n) ge limsup_ntoinfty x_n + liminf_ntoinfty y_n.$$
Este es un resultado importante, por lo que supongo que la mayoría de los libros y cursos probablemente lo mencionarán y darán una solución o lo dejarán como un ejercicio.
Solo daré algunos enlaces (no intentaré escribir de nuevo lo que otros ya han escrito, y probablemente mucho mejor, y lo que se puede encontrar fácilmente).
EDITAR: Pido disculpas por no leer su pregunta lo suficientemente a fondo. La mayoría de los enlaces que he proporcionado a continuación prueban solo la segunda desigualdad. (Cuál es el más fácil y usted escribió que pudo mostrarlo usted mismo). He dejado los enlaces restantes, pueden ser útiles para alguien, pero he marcado cuál de ellos muestra ambas desigualdades.
En línea:
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http://www.isibang.ac.in/~creraja/Ana1_11/mex.pdf Ambas desigualdades se muestran aquí.
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Panel Q+A de topología
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http://www.math.hmc.edu/computing/support/tex/classes/hmcpset/hw-example.pdf
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http://www.math.purdue.edu/~danielli/hmw5(MA504).pdf
Libros:
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Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak: Problemas de análisis matemático: Volumen 1; Números Reales, Sucesiones y Series, Problema 2.4.15. El problema se da en la p.44 y se resuelve en las p.198-199. (AFAIK, este libro también está disponible en francés y polaco). Ambas desigualdades se muestran aquí. También podría estar interesado en el Problema 2.4.17, donde se muestra un resultado similar para el producto de secuencias.
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Sterling K. Berberian: Un primer curso de análisis real, p.54. Una de las desigualdades se da aquí como ejercicio, pero se da una pista detallada.
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Jacques Dixmier: Topología general, Teorema 7.3.7 – este resultado se da aquí en una generalidad mucho mayor – para un límite superior a lo largo de una base de filtro.
Búsquedas:
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Algunos de los resultados web anteriores estuvieron entre los primeros cuando intenté buscar limsup sum. También suma razonable “lim sup” y suma “límite superior”.
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“lim sup” “(un bn)” “lim inf”
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“limsup (xn+yn)” Nuevamente, puede reemplazar limsup por “lim sup” o “límite superior”.
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“lim sup” “(an+bn)”
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subaditivo limsup
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