Te sugerimos que revises esta resolución en un entorno controlado antes de pasarlo a producción, un saludo.
Solución:
Una función racional de grado $d$ (de 1 variable) tiene la forma $$F(x) = fraca_dx^d+a_d-1x^d-1+dots+a_0 b_dx^d+b_d-1x^d-1+dots+b_0,$$ donde uno debería ver los coeficientes $[a_d,ldots,a_0,b_d,ldots,b_0]$ como coordenadas homogéneas en el espacio proyectivo $mathbbP^2d+1$. Fijar un valor $F(x_i)=c_i$ da una ecuación lineal en los coeficientes que determina un hiperplano en $mathbbP^2d+1$. Dado que $2d+1$ los hiperplanos independientes se intersecan exactamente en un punto, se deduce que siempre que sus condiciones $F(x_i)=c_i$ con $1le ile 2d+1$ sean independientes, entonces determinan un racional único función de grado menor o igual a $d$. (El grado puede ser menor que $d$ si resulta que $a_d=b_d=0$.)
Esta respuesta se basa en la de Joe Silverman y usa la misma notación. Él escribe “como sus condiciones $F(x_i)=c_i$ … son independientes”.
Supongamos, para $1 leq e leq d$, que no existe ningún $2d+1-e$ de los puntos que puedan ser interpolados por una función racional de grado $de$. Entonces afirmo que las condiciones son independientes.
Prueba Supongamos que $F(x_i) = c_i$ y $F'(x_i) = c_i$. Sea $F(x) = sum a_i x^i / sum b_i x^i$ como en la respuesta anterior. Sea $C$ la curva en $mathbbP^1 times mathbbP^1$ cortada por $$y_1 left( sum a_i x_1^i x_2^d-1 right ) = y_2 left(sum b_i x_1^i x_2^d-1 right)$$ donde $(x_1:x_2)$ son coordenadas homogéneas en el primer $mathbbP^1$ y $( y_1:y_2)$ son coordenadas homogéneas en el segundo. Defina $C’$ de manera similar.
Entonces las curvas $C$ y $C’$ se encuentran en los puntos $2d+1$ $(x_i:1) times (c_i : 1)$. Sin embargo, un cálculo en $H^bullet(mathbbP^1 times mathbbP^1)$ muestra que el producto de intersección $C cdot C’ = 2d$. La única manera de que esto suceda es que $C$ y $C’$ tengan un componente común. En particular, $C$ tiene más de un componente.
Ahora, $C$ tiene grado $(1,d)$ en $mathbbP^1 times mathbbP^1$. Entonces, si tiene más de un componente, entonces uno de ellos es de grado $(1,de)$ y los otros son $e$ líneas de la forma $x=mathrmconstante$. Puede haber puntos $e$ en las líneas verticales (ya que los $x_i$ son distintos); eso deja $2d+1-e$ puntos en el componente de grado $(1,e)$. En otras palabras, $2d+1-e$ puntos que son interpolados por una función racional de grado $de$.
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