Ten en cuenta que en la informática cualquier problema suele tener diversas soluciones, pero te mostraremos lo más óptimo y eficiente.
Solución:
La respuesta es no. Un contraejemplo tiene la forma
$$u(x,t)=sum_0^infty fracg^(n)(t)((2n+1)!)^2(rR)^2n+1, $$
dónde $r>R$ es la distancia desde el origen en $R^2$. El primero muestra que esta función satisface formalmente la ecuación del calor. En segundo lugar, existe un infinitamente diferenciable $gnoequivalente a 0$ tal que $g^(n)(0)=0$
para todos $ngeq 0$, y tal que la serie anterior converge. Entonces, nuestra función no es cero, satisface la ecuación de calor en el exterior de la pelota y tiene condiciones iniciales y de contorno cero. Por la existencia de tal $g$ uno puede consultar http://www-bcf.usc.edu/~lototsky/MATH445/NonUniqueness-HeatEq.pdf
WLOG, $u$ es negativo en alguna parte, de lo contrario, reemplácelo por $-u$. Luego agregue una pequeña constante positiva a $u$las condiciones iniciales y de contorno serán positivas, pero $u$ sigue siendo negativo en alguna parte.
Como complemento a la respuesta de Alexandre Eremenko, la respuesta a su pregunta es “sí” si asumimos además que $u$ satisface la condición de crecimiento $|tu|
Para ver esto suponga por simplicidad que $a = 0$ y $T = 1$. Dejar $h_R = -t^-1/2e^-frac(xR)^24t$ y deja $b_R = Ae^MR^2h_R$. Por el principio de comparación en dominios acotados tenemos $ugeqb_R$ en ps[0,,R] veces [0,,1]ps. Un breve cálculo muestra que $b_R geq -8AsqrtMe^-3MR^2$ en ps[0,,R/2] veces [0,, (64M)^-1]ps. Tomando $R rightarrow infty$ concluimos que $ugeq 0$ por $t en [0,,(64M)^-1]psy repitiendo el argumento un número finito de veces obtenemos $ugeq 0$ en ps[0,,T]ps. Que $u > 0$ se sigue del principio del máximo fuerte.
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