Solución:
Incluso si te pones Persist Security Info=true O Persist Security Info=false
no mostrará una diferencia al principio. La diferencia está sucediendo en segundo plano.
Cuando Persist Security Info=False, la información sensible a la seguridad, como la contraseña, no se devuelve como parte de la conexión si la conexión está abierta o alguna vez ha estado en un estado abierto.
Si pones Persist Security Info=True, Windows recordará la contraseña especificada en la cadena de conexión.
Esa es la diferencia.
Explicación de MSDN
Configuración Persist Security Info true o false entrará en vigor solo si menciona el nombre de usuario y la contraseña en la cadena de conexión. Si menciona nombre de usuario y contraseña en la cadena de conexión y establece Persist Security Info como false entonces las credenciales no se pueden extraer, pero si establece Persist Security Info como verdadero al proporcionar credenciales en la cadena de conexión, Windows recordará las credenciales y se puede extraer mediante programación.
Encontré esta respuesta aquí de Dan Guzman, MVP de SQL Server:
Le sugiero que especifique FALSE u omita la palabra clave por completo, ya que es la predeterminada, incluso durante el desarrollo. La única vez que necesita especificar TRUE es si la aplicación usa autenticación SQL y posteriormente recupera la contraseña del objeto de conexión, lo que en mi experiencia rara vez se hace o se necesita. El rendimiento no es una preocupación.