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Solución:
Diferencia entre producto cartesiano y tensorial
Cuando el producto cartesiano está equipado con la estructura de espacio vectorial “natural”, generalmente se le llama suma directa y denotado por el símbolo $ oplus $. Como afirman otras respuestas, la suma directa (producto cartesiano) y el producto tensorial de dos espacios vectoriales se pueden ver claramente como diferentes por su dimensión.
Si $ v_i $ y $ w_i $ son la base de $ V $ y $ W $, tenemos que $ v_i cup w_j $ es una base de $ V oplus W $ y $ v_i otimes w_j $ es una base de $ V otimes W $. Por lo tanto,
$$ operatorname dim (V oplus W) = operatorname dim V + operatorname dim W $$ $$ operatorname dim (V otimes W) = operatorname dim V cdot operatorname dim W $$
Como puede ver, el “producto cartesiano” se comporta más como una suma cuando se trata de espacios vectoriales, mientras que el producto tensorial adopta el papel de un producto.
Sistemas compuestos
Ahora, para tener una idea de por qué debemos usar el producto tensorial de los espacios de estados de dos sistemas cuánticos diferentes cuando queremos describir el sistema compuesto, podemos usar la siguiente analogía.
Considere dos sistemas clásicos con un número finito $ m $ y $ n $ de estados $ s_i $ y $ r_i $. Al describir el sistema conjunto, ¿querríamos tener como espacio de estados la unión o el producto cartesiano de los conjuntos originales?
Nos gustaría el producto, porque esperamos tener todos los estados combinados posibles $ S_ ij = (s_i, r_j) $ para todos los $ i $, $ j $. Como puede ver, el número de elementos del nuevo conjunto es $ m cdot n $.
En el análogo cuántico de esta configuración, los dos subsistemas se describen mediante espacios vectoriales cuya base son $ s_i $ y $ r_i $. De la misma manera, el sistema compuesto tendrá una base $ S_ ij = (s_i, r_j) $ (que escribimos como $ S_ ij = s_i otimes r_j $) por lo que debe ser el producto tensor.
Nota: El key de este argumento es la observación de que el conjunto cuyo número de elementos es el producto es el producto cartesiano (caso clásico), mientras que el espacio vectorial cuya dimensión es el producto es el producto tensorial (caso cuántico).
Teoremas del álgebra lineal 101
Parece mezclar algunos hechos matemáticos básicos que no dependen de nada, desde la mecánica cuántica o la física:
- El producto cartesiano de los espacios vectoriales $ A times B $ y la suma directa de los espacios vectoriales $ A oplus B $ son lo mismo *.
- Si $ A $ y $ B $ son conjuntos, entonces $ | A times B | = | A | cdot | B | $, donde $ | X | $ es la cardinalidad del conjunto $ X $.
- Si $ A $ y $ B $ son espacios vectoriales, y $ operatorname dim (A) $ denota la dimensión de $ A $, entonces $ operatorname dim (A times B) = operatorname dim (A) + operatorname dim (B) $
- Finalmente, $ operatorname dim (A otimes B) = operatorname dim (A) cdot operatorname dim (B) $
Todas estas fórmulas funcionan incluso si los números son infinitos, en cuyo caso son números cardinales. Esto no depende de la mecánica cuántica. No hay diferencia con el caso clásico, porque estos no son cuánticos o clásicos, son solo definiciones / teoremas matemáticos.
Un ejemplo
El producto cartesiano de $ mathbb R ^ 3 $ consigo mismo se divide en $ (e_1,0) $, $ (e_2,0) $, $ (e_3,0) $, $ (0, e_1) $, $ (0, e_2) $, $ (0, e_3) $. Tiene 6 dimensiones.
El producto tensorial de $ mathbb R ^ 3 $ consigo mismo está dividido en $ e_1 otimes e_1 $, $ e_2 otimes e_1 $, $ e_3 otimes e_1 $, $ e_1 otimes e_2 $, $ e_2 otimes e_2 $, $ e_3 otimes e_2 $, $ e_1 otimes e_3 $, $ e_2 otimes e_3 $, $ e_3 otimes e_3 $. Tiene 9 dimensiones.
¿Por qué utilizamos el producto tensorial y no el producto cartesiano?
Es más fácil de comparar con una distribución de probabilidad clásica. Para describir la distribución de probabilidad más general en tres estados posibles, necesita tres números reales (más las restricciones de probabilidades que son positivas y se suman a uno). Para describir la distribución de probabilidad más general en dos sistemas separados, cada uno con tres estados separados, necesita nueve números reales. El objeto de probabilidad 1 está en el estado 1 y el objeto 2 está en el estado 1, el objeto de probabilidad 1 está en el estado 2 y el objeto 2 está en el estado 1, y así sucesivamente. Entonces puede ver cómo esto corresponde a nueve dimensiones: la dimensión del producto tensorial. El producto cartesiano no tiene una dimensión lo suficientemente alta como para almacenar esta información de una manera sensata / sencilla.
* ($ A times B = A oplus B $, pero en el caso del producto / suma de infinitos espacios vectoriales son distintos: $ prod_i A_i neq bigoplus_i A_i $. Esto no sería algo cubierto en clases introductorias. La distinción profunda entre los dos es que uno es un producto de la teoría de categorías y el otro es un coproducto de la teoría de categorías, pero eso no es útil ni relevante para la introducción a la mecánica cuántica).
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